Olimpíadas ⇒ (Gazeta Matemática-87) Função quadrática Tópico resolvido

[Auto Excluído (ID:20808)]

Seja [tex3]f(x)=a^2x^2-(b^2-2ac)x+c^2[/tex3], com [tex3]a,b,c \in \mathbb{Q}^*_+[/tex3]. Provar que existe [tex3]n\in \mathbb{N}[/tex3] tal que [tex3]f(n)=0[/tex3] então [tex3]n[/tex3] é um quadrado perfeito.

Solução do Rufino:
O discriminante da equação é dado por:
[tex3]\Delta =(b^2-2ac)^2-4a^2c^2=b^4-4ab^2c+4a^2c^2-4a^2c^2=b^4-4ab^2c=b^2(b^2-4ac)[/tex3]

Assim, as raízes da equação são: [tex3]x_{1,2}=\frac{b^2-2ac\pm b\sqrt{b^2-4ac}}{2a^2}[/tex3]

Desde que as raízes são inteiras então [tex3]\sqrt{b^2-4ac}[/tex3] deve ser inteiro(por que deve ser inteiro?), fazendo com [tex3]b^2-4ac[/tex3] seja quadrado perfeito: [tex3]b^2-4ac=k^2\rightarrow b^2-k^2=4ac\rightarrow \frac{b^2-k^2}{2}=2ac[/tex3].

Assim: [tex3]x_{1,2}=\frac{b^2-\frac{b^2-k^2}{2}\pm bk}{2a^2}=\frac{b^2+k^2\pm 2bk}{4a^2}=(\frac{b\pm k}{2a})^2[/tex3], que é quadrado perfeito.

[Ittalo25MOD]

Não necessariamente inteiro, mas deve ser racional.

O Rufino passou batido nessa.

Porque se for irracional, teríamos algo do tipo: [tex3]\frac{x+\sqrt{2}}{2}[/tex3], com x racional. Ou seja, a soma seria irracional.

[Auto Excluído (ID:20808)]

Você quis dizer a soma das raízes? Acho que a parte irracional se cancela pois têm sinais opostos, então a soma seria racional. Até agora não entendi esse fato de [tex3]b^2-4ac[/tex3] ser quadrado perfeito. Grande abraço!

[Ittalo25MOD]

[tex3]\frac{b^2-2ac}{2a^2}[/tex3] é racional.

[tex3]\frac{ b\sqrt{b^2-4ac}}{2a^2}[/tex3] é irracional se [tex3]\sqrt{b^2-4ac}[/tex3] for irracional.

Então você vai somar ou subtrair um racional com um irracional, que dá um resultado irracional.

Por isso [tex3]\sqrt{b^2-4ac}[/tex3] tem que ser racional, ou seja, [tex3]b^2-4ac [/tex3] deve ser um quadrado perfeito