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Na figura 3 está representada, num referencial o.n. Oxyz, uma pirâmide quadrangular regular [ABCDV].
Sabe-se que:
-a base [ABCD] da pirâmide é paralela ao plano xOy
-o ponto A tem coordenadas (-1, 1, 1)
-o ponto C tem coordenadas (-3, 3- 1)
-o plano BCV é definido pela equação 3y +z - 10 = 0.
3.3. Seja [tex3]\alpha [/tex3] o plano perpendicular à reta AC que passa no ponto P(1, -2, -1)
A intersecção dos planos [tex3]\alpha [/tex3] e BCV é uma reta. Escreva uma equação vetorial dessa reta.

Minha dúvida é quanto à resolução da 3.3.. O que feito aí? Chegou se na equação que define os coeficientes da reta aí depois disso não entendi nada...Por quê o (-3, 0, 10) é o ponto inicial. Por quê os denominadores se tornaram os coeficientes do vetor diretor??? Pode-se fazer isso?

Observe

Solução

Existem outras formas de apresentar uma equação da reta, veja algumas formas:

( x , y , z ) = ( xo , yo , zo ) + t.( a , b , c ) → Equação vetorial da reta

[tex3]\begin{cases}
x= x_{o} + at\\
y =y_{o} + bt→Equacoes \ parametricas\\
z=z_{o}+ct
\end{cases}[/tex3]


[tex3]\frac{x-x_{o}}{a} = \frac{y-y_{o}}{b}= \frac{z-z_{o}}{c}→ Equações \ simétricas[/tex3] , que é o caso em questão, onde a , b e c é o vetor diretor da reta e o ponto ( xo , yo , zo ) é ponto que pertence a essa reta, por isso , como você mesmo disse é o ponto inicial por pertencer a ela mesma. É perfeitamente correto essa maneira e até mais prática, claro que existe outra maneira.

Obs. Para verificar isso , basta você substituir o ponto ( 3 , 0 , 10 ) na equação cartesiana ( outra forma ) abaixo;

[tex3]\begin{cases}
-x+y+3=0 \\
3y+z-10=0 \\
\end{cases}[/tex3]

E você verá que satisfaz a equação.

Uma outra forma da equação da reta é a chamada equações reduzidas, veja abaixo;

[tex3]\begin{cases}
y = px+q\\
z=mx+n
\end{cases}[/tex3]

Obs.O autor da resposta achou mais prático( o que é verdade ) isolar a variável "y" da equação cartesiana , depois encontrar as equações simétricas e consequentemente a equação vetorial da reta.


Bons estudos!