Ensino Médio ⇒ Equação Cúbica

[Angelita]

Indique uma raiz real da equação cúbica [tex3]x^{3}[/tex3]-6x+6=0.
a)[tex3]\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{3}[/tex3]
b)[tex3]\sqrt[3]{5} - \sqrt[3]{4}[/tex3]
c)[tex3]\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}[/tex3]
d)-[tex3]\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{2}[/tex3]
e)N.R.E

Resposta

---

d

[jomatlove]

Resolução.
Fórmula de Cardano:
[tex3]x^{3}+mx+n=0\rightarrow [/tex3]
[tex3]\rightarrow x=\sqrt[3]
{-\frac{n}{2}+\sqrt{(\frac{n}{2})^{2}+(\frac{m}{3})^{3}}}+\sqrt[3]{-\frac{n}
{2}-\sqrt{(\frac{n}{2})^{2}+(\frac{m}{3})^{3}}}[/tex3]
Assim,temos:
[tex3]m=-6 [/tex3] e [tex3]n=6 [/tex3]
Substituindo na fórmula de Cardano:
[tex3]x=\sqrt[3]{-3+\sqrt{9-8}}+\sqrt[3]
{-3-\sqrt{9-8}} [/tex3]
[tex3]x=\sqrt[3]{-3+1}+\sqrt[3]{-3-1}[/tex3]
[tex3]x=\sqrt[3]{-2}+\sqrt[3]{-4}[/tex3]
[tex3]x=-\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{4}[/tex3]

[tex3]\therefore \boxed{x=-\sqrt[3]{4}-
\sqrt[3]{2}}[/tex3]

[Vinisth]

Olá a todos

Seja [tex3]x=(a+b)[/tex3]
[tex3]x^3=6x-6=a^3+b^3+3abx[/tex3]
[tex3]\begin{cases}
a^3+b^3=-6 \\
ab=2
\end{cases}[/tex3]
Temos uma equação do sexto grau em a, reduzida para equação quadrática
[tex3]a^3+\frac{8}{a^3}=-6 \iff a^6+6a^3+8=0[/tex3], cujas raízes são
[tex3]a=\sqrt[3]{\frac{-6\pm \sqrt{6^2-4\cdot8}}{2}}=\sqrt[3]{\frac{-6\pm 2}{2}}=\sqrt[3]{-3\pm1}[/tex3]
[tex3]b=\sqrt[3]{-3\pm1}[/tex3]
[tex3]\boxed{x=\sqrt[3]{-3\pm1}+\sqrt[3]{-3\pm1}}[/tex3]
Logo, [tex3]x= -\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2}[/tex3]
Abraço !

[Vinisth]

Mais uma solução:

[tex3]x^3-6x+6[/tex3]
Chama [tex3]x=\left(t+\frac{2}{t}\right)[/tex3]
[tex3]\left(t+\frac{2}{t}\right)^3-6\left(t+\frac{2}{t}\right)+6=0[/tex3]
[tex3]t^6+6t^3+8=0[/tex3]
Procedimento análogo.

Abraço !

[Angelita]

Muitos caminhos levam a Roma!
Agradeço...