Pré-Vestibular ⇒ (FGV 2009) Sistema Tópico resolvido

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Sejam x, y e z números reais positivos que satisfazem o sistema:

[tex3]\left\{\begin{matrix}
x &+ \frac{1}{y}= & 4\\ \\
y & +\frac{1}{z} =&1 \\ \\
z& +\frac{1}{x} =& \frac{7}{3}
\end{matrix}\right.[/tex3]

Calcule a solução (x, y, z) desse sistema.

Resposta

---

([tex3]\frac{3}{2},\frac{2}{5},\frac{5}{3}[/tex3])

[jvmago]

[tex3]\left\{\begin{matrix}
x &+ \frac{1}{y}= & 4\\ \\
y & +\frac{1}{z} =&1 \\ \\
z& +\frac{1}{x} =& \frac{7}{3}
\end{matrix}\right.[/tex3]

[tex3]x=4-\frac{1}{y}[/tex3] substituindo no sistema temos:

[tex3]\left\{\begin{matrix}

zy & +1 =&z \\ \\
z& +\frac{1}{4-\frac{1}{y}} =& \frac{7}{3}
\end{matrix}\right.[/tex3]

pela primeira equação tiramos:

[tex3]z=\frac{1}{1-y}[/tex3] substituindo na terceira teremos:

[tex3]\frac{1}{1-y}+\frac{1}{4-\frac{1}{y}} = \frac{7}{3}[/tex3] ajeitando

[tex3]12y-3+3y-3y^2=7(4y-1-4y^2+y)[/tex3] organizando vamos ter:

[tex3]3y^2 -15y+3=28y^2-35y+7[/tex3]
[tex3]25y^2-20y+4=0[/tex3] e isso é incrivel pois
[tex3](5y-2)^2=0[/tex3]
[tex3]y=\frac{2}{5}[/tex3] agora é só ir substituindo nas deduções anteriores e PIMBA