Ensino Médio ⇒ Geometria Espacial: Pirâmide | Volume

[challenge]

Determine o volume de uma pirâmide hexagonal regular cuja base está inscrita em um círculo de área [tex3]4\pi[/tex3] e cujo apótema é igual ao diâmetro do círculo.

[adrianotavares]

Olá, challenge.

• 

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Como a área do círculo circunscrito à base é [tex3]4\pi,[/tex3] vem

• [tex3]\pi r^2=4\pi \Longrightarrow r=2.[/tex3]

Sabemos que o apótema da pirâmide é igual ao diâmetro da base. Logo,

• [tex3]\overline{VM}=m=2r=4.[/tex3]

O volume da pirâmide é dado por

• [tex3]V=\frac{1}{3}\cdot \frac{3\ell^2\sqrt{3}}{2}\cdot h[/tex3]

O lado do hexágono regular inscrito é igual ao raio do círculo. Logo, [tex3]\ell=r=2.[/tex3]

• 

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• [tex3]\cos 30^\circ=\frac{a}{r}\Longrightarrow a=r\cdot \cos30^\circ =\sqrt{3}.[/tex3]

• 

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• [tex3]h^2=m^2-a^2=4^2-(\sqrt{3})^2\Longrightarrow h=\sqrt{13}.[/tex3]

Portanto,

• [tex3]V=\frac{1}{3}\cdot \frac{3\cdot 2^2\cdot \sqrt{3}}{2}\cdot \sqrt{13}=2\sqrt{39}\text{ u.v.}[/tex3]