Ensino Superior ⇒ Series de potencias Tópico resolvido

[Miri911]

use a derivação para encontrar a representação em serie de potencias para f(X)= 1/(1+x)^3 e para F(x)= x^2/(1+x)^3

[Cardoso1979]

Observe

Solução

Vamos avaliar a série de potências da função [tex3]\frac{1}{1+x}[/tex3].

Perceba que ela tem a "cara" da série geométrica:

[tex3]\frac{1}{1-k}=\sum_{n=0}^{∞}k^n=1+k+k^2+k^3+...[/tex3]

Desde que |k| < 1. Substituindo k = - x, temos que;

[tex3]\frac{1}{1-(-x)}=\sum_{n=0}^{∞}(-x)^n=1-x+x^2-x^3+...[/tex3]

Desde que | - x | < 1, isto é, | x | < 1. Daí;

[tex3]\frac{1}{1+x}=\sum_{n=0}^{∞}(-1)^n.x^n=1-x+x^2-x^3+...[/tex3]

Derivando essa função na forma de série, fica;

[tex3][\frac{1}{1+x}]'=[\sum_{n=0}^{∞}(-1)^n.x^n]'=[1-x+x^2-x^3+...]'[/tex3]

[tex3]-\frac{1}{(1+x)^2}=\sum_{n=1}^{∞}(-1)^n.n.x^{n-1}=-1+2x-3x^2+4x^3 -...[/tex3]

Derivando mais uma vez, vem;

[tex3][-\frac{1}{(1+x)^2}]'=[\sum_{n=1}^{∞}(-1)^n.n.x^{n-1}]'=[-1+2x-3x^2+4x^3 -...]'[/tex3]

[tex3]\frac{2}{(1+x)^3}=\sum_{n=2}^{∞}(-1)^n.n.(n-1).x^{n-2}=2-6x+12x^2 -...[/tex3]

Então;

[tex3]\frac{1}{(1+x)^3}=\sum_{n=2}^{∞}\frac{(-1)^n.n.(n-1)}{2}.x^{n-2}=1-3x+6x^2 -...[/tex3]

Portanto,

[tex3]\frac{1}{(1+x)^3}=\sum_{n=2}^{∞}\frac{(-1)^n.n.(n-1)}{2}.x^{n-2}[/tex3]


Agora , para determinar a representação em série de potências de f(x) = [tex3]\frac{x^2
}{(1+x)^3}[/tex3], basta observar que essa função é x² vezes a função anterior (já resolvida), tudo que temos que fazer é multiplicar essa série por x². Veja;

[tex3]\frac{x^2}{(1+x)^3}=x^2.\frac{1}{(1+x)^3}=x^2.\sum_{n=2}^{∞}\frac{(-1)^n.n.(n-1)}{2}.x^{n-2}[/tex3]

Portanto,

[tex3]\frac{x^2}{(1+x)^3}=\sum_{n=2}^{∞}\frac{(-1)^n.n.(n-1)}{2}.x^{n}[/tex3]


Nota

Aplicando a regra da cadeia, fica;

[tex3]\left(\frac{1}{1+x}\right)'=[(1+x)^{-1}]'=-1.(1+x)^{-2}.1=-\frac{1}{(1+x)^2}[/tex3]

[tex3]\left(-\frac{1}{(1+x)^2}\right)'=[-(1+x)^{-2}]'=-(-2).(1+x)^{-3}.1=\frac{2}{(1
+x)^3}[/tex3]

Você poderia usar a seguinte notação para derivada : [tex3]\frac{d}{dx}[/tex3], eu particularmente tenho preferência pela simples notação ( ' ).


Bons estudos!

[Miri911]

Muitissimo obrigada professor. Foi de imensa ajuda.