Ensino Superior ⇒ Series de potencias Tópico resolvido

[Miri911]

como entender o procedimento de F(x) = x^3/(x-2)^2, resulta em [tex3]\sum_{i=0}^{n}[/tex3](-1)^n4^n(n+1)x^n+1. Eu fiz e entendi o primeiro passo: cheguei aqui,
x^3/4*1/(1-x/2)^2 mas não consigo seguir. Não compreendo o caminho até a solução

o mesmo ocorre com f(x)= x^2tg^-1(x^3)

[Cardoso1979]

Observe

Solução

[tex3]f(x)=\frac{x^3}{(x-2)^2}[/tex3]

Usando como base a série geométrica [tex3]\sum_{n=0}^{+∞}x^n=\frac{1}{1-x}[/tex3], desde que | x | < 1. Vamos avaliar a série de potências da função [tex3]\frac{1}{x-2}[/tex3], temos que:

[tex3]\frac{1}{x-2}=-\frac{1}{2-x}=-\frac{1}
{2(1-\frac{x}{2})}=-\frac{1}{2}.\frac{1}{(1-\frac{x}{2})}[/tex3]

[tex3]\frac{1}{x-2}=-\frac{1}{2}.\sum_{n=0}^{+∞}\left(\frac{x}{2}\right)^n[/tex3]


[tex3]\frac{1}{x-2}=-\sum_{n=0}^{+∞}\frac{x^n}{2^{n+1}}[/tex3]

Derivando ambos os membros, vem;

[tex3][\frac{1}{x-2}]'=[-\sum_{n=0}^{+∞}\frac{x^n}{2^{n+1}}]'[/tex3]

[tex3]-\frac{1}{(x-2)^2}=-\sum_{n=1}^{+∞}\frac{n.x^{n-1}}{2^{n+1}}[/tex3]

[tex3]\frac{1}{(x-2)^2}=\sum_{n=1}^{+∞}\frac{n.x^{n-1}}{2^{n+1}}[/tex3]

Basta multiplicar toda a expressão por x³, temos;

[tex3]\frac{x³}{(x-2)^2}=x³.\sum_{n=1}^{+∞}\frac{n}{2^{n+1}}.x^{n-1}= \sum_{n=1}^{+∞}\frac{n}{2^{n+1}}.x^{n+2}[/tex3]

Logo,

[tex3]\sum_{n=1}^{+∞}\frac{n}{2^{n+1}}.x^{n+2}[/tex3]

Obs. Você poderia resolver usando integral e depois aplicar derivada( mais complicado ).


Uma dica para resolver f(x) = x².arc tg ( x³ ) , use come base a mesma série geométrica, e [ arc tg ( x³ ) ]' = [tex3]\frac{3x^2}{1+x^6}[/tex3], então;

[tex3]g(x)=arc \ tg \ x^{3}=\int\limits_{0}^{x}\frac{3t^2}{1+t^6}dt=\int\limits_{0}^{x}3t^2.\frac{1}{1+t^6}dt \ ( I )[/tex3]

Note que:

[tex3]\frac{1}{1+t^6}=\frac{1}{1-(-t^6)}=\sum_{n=0}^{+∞}(-t^6)^n=\sum_{n=0}^{+∞}(-1)^n.t^{6n}[/tex3]

Pronto! Basta retornar para ( l ), praticamente resolvido

Bons estudos!

[Miri911]

imensamente agradecida; Es admiravel.