Pré-Vestibular ⇒ (UNESP - 1991) Geometria Analítica: Reta e Circunferência Tópico resolvido

[Maria Juliana de Almeida]

Seja [tex3]\overline{AB}[/tex3] o diâmetro da circunferência [tex3]x^2+y^2-6x-8y+24=0[/tex3] contido na reta perpendicular a [tex3]y=x+7[/tex3]. Calcule as coordenadas de [tex3]A[/tex3] e [tex3]B.[/tex3]

[bigjohn]

oi maria, uma reta perpendicular a [tex3]y=x+7[/tex3] é qualquer uma do tipo [tex3]y=-x+b[/tex3]. O coeficiente angular é o perpedicular e o coeficiente linear a gente não sabe ainda. Pra descobrir o [tex3]b[/tex3] a gente tem que saber um ponto desta reta. Já que o exercício diz que eh diâmetro da circunferencia, daí quer dizer que essa reta passa no centro da circunferência.

centro [tex3]= (3, 4)[/tex3]

agora agente substitui esse ponto na equação da reta que tem [tex3]b.[/tex3]

[tex3]4=-3+b \rightarrow b=7[/tex3]

daí é só encontrar os pontos de interseção desta reta com a circunferência.
substitui o [tex3]y=-x+7[/tex3] na circunferência

[tex3]x^2+(-x+7)^2-6x-8(-x+7)+24=0[/tex3]

[tex3]x^2+x^2-14x+49-6x+8x-56+24=0[/tex3]

[tex3]2x^2-12x+17=0[/tex3]

[tex3]x=6+\sqrt 2[/tex3]

ou

[tex3]x=6-\sqrt 2[/tex3]

Pra descobrir o [tex3]y[/tex3] de cada um desses [tex3]x[/tex3] a gente bota no [tex3]y=-x+7[/tex3]

[tex3]x=6+\sqrt 2\rightarrow y=1-\sqrt 2[/tex3]

[tex3]x=6-\sqrt 2\rightarrow y=1+\sqrt 2[/tex3]

agora é só dar a resposta:

[tex3]A(6+\sqrt 2,\,\,1-\sqrt 2)[/tex3]

[tex3]B(6-\sqrt 2,\,\,1+\sqrt 2)[/tex3]
vlw ae brother