Demonstrações ⇒ Demonstração - Lado de um quadrado inscrito em um triangulo qualquer em função da base e altura

[jvmago]

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Essa é uma situação muito comum na parte de geometria então decidi mostrar um método mais simples. Seja um triangulo de base [tex3]b[/tex3] e altura [tex3]h[/tex3] provarei que o lado do quadrado será [tex3]x=\frac{bh}{b+h}[/tex3].

Façamos inicialmente [tex3]x=m+n[/tex3], [tex3]AF=a[/tex3] e [tex3]GC=c[/tex3]. Se [tex3]ML=x[/tex3] então [tex3]KL=h-x[/tex3].

Observando com cuidado é possível ver várias semelhanças [tex3]\Delta BHD'[/tex3]~[tex3]\Delta GHC[/tex3] e [tex3]\Delta BED'[/tex3]~[tex3]\Delta EFA[/tex3].

Começando por [tex3]\Delta BHD'[/tex3]~[tex3]\Delta GHC[/tex3] teremos:

[tex3]\frac{h-x}{x}=\frac{n}{c}[/tex3]
[tex3]ch-cx=xn[/tex3] (1)


Agora com [tex3]\Delta BED'[/tex3]~[tex3]\Delta EFA[/tex3]

[tex3]\frac{h-x}{x}=\frac{m}{a}[/tex3]
[tex3]ah-ax=xm[/tex3] (2)


Somando (1) e (2) obtemos:

[tex3]ch-cx+ah-ax=xn+xm[/tex3] a princípio essa equação não diz nada mas observem as manipulações
[tex3]x(m+n)=ch+ah-(cx+ax)[/tex3]
[tex3]x(m+n)=h(c+a)-x(c+a)[/tex3]

Olha, [tex3]m+n=x[/tex3] OK mas se você olhar o desenho, [tex3]a+c=b-x[/tex3] agora acabou
[tex3]x*x=(h-x)(c+a)[/tex3]
[tex3]x^2=(h-x)(b-x)[/tex3]
[tex3]x^2=x^2-(h+b)x+bh[/tex3]
[tex3]x(b+h)=bh[/tex3]
[tex3]x=\frac{bh}{b+h}[/tex3] Forte abraço senhores

Vale lembrar que a demonstração para o caso de um retângulo é feita de maneira análoga

[Andre13000]

Há uma forma de fazer no qual precisamos somente de uma semelhança de triângulos. Trace, a partir de H, uma reta paralela a AB tal que essa intercepta AC em P. Daí, como ABC~PHC, temos que

[tex3]\frac{x}{b-x}=\frac{h}{b}\to \frac{x}{h}=\frac{b-x}{b}=\frac{b}{b+h}\\
x=\frac{bh}{b+h}[/tex3]

[jvmago]

Há uma forma de fazer no qual precisamos somente de uma semelhança de triângulos. Trace, a partir de H, uma reta paralela a AB tal que essa intercepta AC em P. Daí, como ABC~PHC, temos que

[tex3]\frac{x}{b-x}=\frac{h}{b}\to \frac{x}{h}=\frac{b-x}{b}=\frac{b}{b+h}\\
x=\frac{bh}{b+h}[/tex3]

loool não tinha enxergado dessa maneira, bem jogado