Ensino Médio ⇒ Equação Cúbica

[Angelita]

Se a equação cúbica [tex3]x^{3}[/tex3]-x+1=0 tem CS={a;b;c}, calcule o valor de J=[tex3]\frac{(a²-1)(b²-1)(c²-1)}{(a+b)(b+c)(c+a)}[/tex3].
a)-1
b)0
c)1
d)2
e)3

Resposta

---

c

[LPavaNNN]

desenvolvendo o numerador:

[tex3][(a+1)(b+1)(c+1)][(a-1)(b-1)(c-1)]\\=(ab+a+b+1)(c+1)(ab-a-b+1)(c-1)\\=(abc+ac+bc+c+ab+a+b+1)(abc-ac-bc+c-ab+a+b-1)\\=(abc+(ac+bc+ab)+(a+b+c)+1)(abc-(ac+bc+ab)+(a+b+c)-1)[/tex3]

desenvolvendo o denominador:

[tex3](a+b)(a+c)(b+c)=(a^2+ac+ab+bc)(b+c)\\=a^2b+a^2c+abc+ac^2+ab^2+abc+b^2c+bc^2+abc-abc\\=ab(a+b+c)+ac(a+b+c)+(bc)(a+b+c)-abc\\=(a+b+c)(ab+ac+bc)-abc[/tex3]

Agora tanto numerador quanto denominador estão nas formas de somas Girard, a equação fica então:

[tex3]J=\frac{(S_3^G+S_2^G+S_1^G+1)(S_3^G-S_2^G+S_1^G-1)}{S_1^G.S_2^G-S_3^G}[/tex3]

[tex3]S_3^G=-1\\S_2^G=-1\\S_1^G=0\\J=\frac{(-2+1)(-1+1-1)}{(-1)(0)+1}=1[/tex3]

[Andre13000]

Outro jeito de considerar esse problema se faz da seguinte forma:

Defina [tex3]f(x)=x^3-x+1=(x-a)(x-b)(x-c)[/tex3]

A fatoração acima segue do teorema fundamental da álgebra. Agora:

[tex3]f(1)=-(a-1)(b-1)(c-1)\\
f(-1)=-(1+a)(1+b)(1+c)\\
f(a+b+c)=f(0)=(a+b+c-a)(a+b+c-b)(a+b+c-c)\\
f(0)=(b+c)(a+c)(a+b)[/tex3]

Portanto, [tex3]\frac{(a^2-1)(b^2-1)(c^2-1)}{(a+b)(b+c)(c+a)}=\frac{f(1)\cdot f(-1)}{f(0)}=1[/tex3]