Ensino Médio ⇒ Circuncentro - Gabarito Errado ? Tópico resolvido

[Jhonatan]

No triângulo ABC da figura, determine Â, sabendo que O é circuncentro do triângulo.

Resposta

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R: 65º

Pessoal, eu achei apenas 50º. É gabarito errado ou eu quem fiz errado a questão ? Se for, como eu resolvo a questão ? Obrigado.

[Andre13000]

O gabarito está correto. Se inscrevermos esse triângulo em um círculo, "O" será seu centro. Tente utilizar esse fato, e propriedade de arcos para resolver.

[Jhonatan]

Andre13000, ainda não estudei arcos. Poderia colocar a resolução para mim, por favor ? Tem como fazer apenas utilizando conhecimento de triângulos e circuncentro ?

[jvmago]

Ué, também encontrei 50º porque prolongando as duas retas aparece um quadrilátero de angulos retos e A é suplementar de 130

[Jhonatan]

Sim, amigo jvmago, exatamente como eu fiz...eu também acho que o gab está errado, mas o Andre13000 disse que conseguiu chegar na resposta do livro, então não sei...

[MatheusBorgesMOD]

Jhonatan, acho que o gabarito está correto, pois o [tex3]\triangle ABO [/tex3] é isósceles e o [tex3]\triangle AOC[/tex3] segue a mesma pegada (Esses lados congruentes, são o raio da circunferência circunscrita ao [tex3]\triangle ABC[/tex3]). Repare também que o ângulo [tex3]O\hat BC =25[/tex3] é igual ao [tex3]O\hat CB=25[/tex3], pois o [tex3]\triangle OBC [/tex3] é isósceles. Desse modo temos que [tex3]O\hat BA+A\hat OB+O \hat CA+A\hat OC+50=180[/tex3] ou seja [tex3]2.(O\hat BA+O\hat CA)=130\rightarrow O\hat BA+O\hat CA=65=O\hat AB+O\hat AC=\hat A[/tex3]

[csmarceloMOD]

Não entendi esse prolongamento.

O é ângulo central na circunferência circunscrita e, portanto, sua medida equivale a do arco que ele determina.

A é uma angulo inscrito na circunferência e, portanto possui metade da medida do arco que determina.

Como A determina o mesmo arco que O, que mede 130 graus, então A mede 65 graus.

[Jhonatan]

Ah sim, pessoal, entendi. Muito obrigado pelas ajudas.
Na verdade, ainda não cheguei na parte que envolve arcos, ainda estou estudando triângulos, por isso não sabia a fórmula para resolver...pensava que tivesse como fazer apenas usando noções de triângulos e pontos notáveis.