Ensino Superior ⇒ Derivada:máximo e mínimo

[jomatlove]

Ache a menor distância entre as curvas:
[tex3]y^{2}=x^{3}[/tex3] e [tex3]9x^{2}+9y^2-30y+16=0[/tex3]

Resposta

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gabarito:[tex3]
\frac{\sqrt{13}}{3}[/tex3]

[undefinied3]

Primeiramente, simplifiquemos a segunda curva.
[tex3]9x^2+9(y^2-\frac{10}{3}y)+16=0 \rightarrow 9x^2+9(y-\frac{5}{3})^2-25+16=0[/tex3]
[tex3]9x^2+9(y-\frac{5}{3})^2=9 \rightarrow x^2+(y-\frac{5}{3})^2=1[/tex3]
Que é uma circunferência. O fato de ser uma circunferência implica que a reta que une os dois pontos, um de cada curva, que definem a menor distância, irá passar pelo centro da circunferência. Isso simplifica o problema, pois então podemos minimizar a distância do centro da circunferência até a curva 1. Da equação simplificada, verificamos que o centro é [tex3]O:(0,\frac{5}{3})[/tex3]

Considere um ponto genérico da primeira curva [tex3]P:(t^2,t^3)[/tex3]. A distância entre os dois pontos será:
[tex3]d=\sqrt{t^4+(t^3-\frac{5}{3})^2}[/tex3]
Maximizar isso ocorre quando maximizamos o que está dentro da raiz. Derivando então a expressão e igualando a zero:
[tex3]4t^3+2(t^3-\frac{5}{3}).3t^2=0 \rightarrow 2t^2(2t+3t^3-5)=0 \rightarrow t^2(3t^3+2t-5)=0[/tex3]
[tex3]t^2(t-1)(3t^2+3t+5)=0[/tex3]
De onde [tex3]t=0[/tex3] ou [tex3]t=1[/tex3], pois a quadrática não possui solução real. Verifiquemos os dois valores:
[tex3]t=0 \rightarrow d=\sqrt{\frac{25}{9}}=\frac{5}{3}[/tex3]
[tex3]t=1 \rightarrow d=\sqrt{1+\frac{4}{9}}=\frac{\sqrt{13}}{3}[/tex3]
Observamos que temos um mínimo para t=1.
Finalmente, subtraímos o raio da circunferência, pois calculamos a distância até o centro. Assim, a resposta é
[tex3]\frac{\sqrt{13}}{3}-1[/tex3]

Acredito que faltou esse detalhe do -1 no gabarito. Conferi no geogebra e é isso mesmo.