Olimpíadas ⇒ Geometria Plana - Área Hachurada Tópico resolvido

[jvmago]

Na figura, a circunferência 2 inscrita no quadrado ABCD e o arco BD de
centro A determinam a Lua de área S. Demostrar que S = S1 + S2 + S3.

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Me dêem uma ajuda pf

[MatheusBorgesMOD]

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[tex3]\begin{cases}
x+S_1+S_2+S_3=\frac{\pi R^{2}}{4} \\
x+S=\pi.(\frac{R}{2})^{2}
\end{cases}\rightarrow \boxed{S_1+S_2+S_3=S}[/tex3]
Acho que é isso Mago. Acabei de acordar, então posso estar nóia...

[jvmago]

Brilhante MafIl10, !!!

[jvmago]

Aproveitar o embalo do post, supunhetando que o lado do quadrado seja 1, consegue enxergar alguma forma de achar a área dessa lua???

[undefinied3]

A área dessa lua não me parece ser nada trivial

Vou considerar como 2 o lado do quadrado.

Por integral, considere um sistema de eixos centrados em A. A equação da circunferência é [tex3](x-1)^2+(y-1)^2=1[/tex3]. A parte de cima se torna [tex3]y=1+\sqrt{1-(x-1)^2}[/tex3]

Para o quarto de circunferência, temos [tex3]x^2+y^2=4 \rightarrow y=\sqrt{4-x^2}[/tex3]

O ponto E é tal que:
[tex3]1+\sqrt{1-(x-1)^2}=\sqrt{4-x^2} \rightarrow 1+2\sqrt{1-(x-1)^2}+1-x^2+2x-1=4-x^2[/tex3]
[tex3]2\sqrt{1-(x-1)^2}=3-2x \rightarrow 4(-x^2+2x)=9-12x+4x^2 \rightarrow x=\frac{5-\sqrt{7}}{4}[/tex3]

O ponto F é tal que:
[tex3]1-\sqrt{1-(x-1)^2}=\sqrt{4-x^2} \rightarrow ... \rightarrow x= \frac{5+\sqrt{7}}{4}[/tex3]

A área pedida pode ser interpreptada como:
[tex3]\int_{E_x}^{F_x}(1+\sqrt{1-(x-1)^2})-(\sqrt{4-x^2})+\int_{F_x}^2(1+\sqrt{1-(x-1)^2}-1+\sqrt{1-(x-1)^2}[/tex3]
[tex3]\approx0.536494+0.04903 \approx 0.585524[/tex3]

A última integral é devido ao fato de que a temos a área entre a parte de cima da circunferência e a debaixo, por isso fica a equação da parte de cima menos a equação da parte debaixo.

As duas integrais dá pra resolver por substituição trigonométrica, mas a resposta fica bem feia e os números também são ruins de substituir. Não vi uma saída por plana simplesmente. Claramente tem que usar trigonometria junto, e vai aparecer uns ângulos bem feios.

[jvmago]

Muito obrigado os dois, realmente esclarecedor