Estude! Com Prof. Caju

Boa noite, Pessoal. Faz um tempo que não posto aqui, estou com duvidas no exercício abaixo, principalmente em relação aos intervalos.

Considere um cilindro de raio [tex3]R_1[/tex3] contido em uma esfera de raio [tex3]R_2[/tex3] ([tex3]R_1 < R_2[/tex3]). O eixo do cilindro coincide com o centro da esfera. Veja a figura a seguir. Determine o volume da esfera subtraindo-se o volume do cilindro.
Obrigado!!

Olá mvasantos,

Fazendo uma visão 2D da situação, visto de lado, temos:
Podemos aplicar Pitágoras no triângulo azul:

[tex3]R_2^2=R_1^2+\(\frac{h}{2}\)^2\,\,\,\Rightarrow\,\,\,\boxed{h=2\sqrt{R_2^2-R_1^2}}[/tex3]

Agora, basta aplicar a fórmula do volume da esfera menos a fórmula do volume do cilindro para achar o volume pedido:

[tex3]\text{Volume Pedido}=\boxed{\boxed{\frac{4}{3}\pi R_2^3-\pi R_1^2\cdot\(2\sqrt{R_2^2-R_1^2}\)}}[/tex3]

Grande abraço,
Prof. Caju

Ola Caju!

Teria como você resolver por integrais triplas? O resultado que tenho aqui e que não é confiavel, diz ser:

[tex3]\frac43\pi (R_2^3-(R_2^2-R_1^2)^\frac32[/tex3]

Obrigado!

Observe

Ah! Então você quer utilizando integrais triplas, lá vai!

Como, tanto a esfera como o cilindro estão centrados na origem, podemos escrever;

x² + y² + z² = [tex3]R_{2}^2[/tex3]

e

x² + y² = [tex3]R_{1}^2[/tex3]

Fazendo a intersecção da esfera com o cilindro, temos;

[tex3]R_{1}^2+z^2= R_{2}^2\therefore z=±\sqrt{R_{2}^2-R_{1}^2}[/tex3]


Logo, o volume do sólido em coordenadas cilíndricas é dado por;

[tex3]V=\int\limits_{0}^{2π}\int\limits_{0}^{R_{2}}\int\limits_{-\sqrt{R_{2}^2-\rho^2 }}^{\sqrt{R_{2}^2-\rho^2}}\rho \ dzd\rho d\theta -\int\limits_{0}^{2π}\int\limits_{0}^{R_{1}}\int\limits_{ - \sqrt{R_{2}^2-R_{1}^2} }^{\sqrt{R_{2}^2-R_{1}^2}}\rho \ dzd\rho d\theta [/tex3]

Efetuando os cálculos acima( só preguiça minha mesmo ), resulta que;

[tex3]V=\frac{4π}{3}R_{2}^3-2πR_{1}^2
\sqrt{R_{2}^2-R_{1}^2}[/tex3]


Obs.

A esfera em coordenadas cilíndricas se transforma em;

x² + y² + z² = [tex3]R_{2}^2[/tex3]

z = ± [tex3]\sqrt{R_{2}^2-(x^2+y^2)}[/tex3]

z = ± [tex3]\sqrt{R_{2}^2-\rho^2 }[/tex3]


Nota

O seu gabarito realmente não é confiável!


Bons estudos!