Ensino Superior ⇒ Singularidade Tópico resolvido

[Ronny]

Dada a seguinte funcao [tex3]f(z)=(z^{2}+1)^{3}shz[/tex3] determine:

[tex3]A)[/tex3] - Os Zeros da funcao.

[tex3]B)[/tex3] - A sua ordem.

Resposta

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[tex3]Z=\pm i[/tex3] (Zero da terceira ordem);[tex3]Z_{k}=k\pi i[/tex3] ( Sao zeros simples, com [tex3]k \in z_{0}[/tex3])

[Cardoso1979]

Observe

Uma solução:

Eu resolvi desmembrar a função original em duas funções, temos;

f( z ) = g( z ).p( z )

f( z ) = ( z² + 1 )^3.senh z

f( z ) = ( z² + 1 )^3.[tex3]\left(\frac{e^z-e^{-z}}{2}\right)[/tex3]

Fazendo f( z ) = 0, vem;


( z² + 1 )^3.[tex3]\left(\frac{e^z-e^{-z}}{2}\right)=0[/tex3]


Ou seja;


z² + 1 = 0 → z = ± √( i² ) → z = ± i

Então;

g'( z ) = 6z.( z² + 1 )^2

g'( i ) = 6i.( i² + 1 )^2 = 6i.( 0 )^2 = 0

g'( - i ) = - 6i.[ (- i )^2 + 1 ]^2 = 6i.( 0 )^2 = 0


g''( z ) = 6.( 5z⁴ + 6z² + 1 )

g''( i ) = 6.( 5.i⁴ + 6.i² + 1 ) = 6.( 5 - 6 + 1 ) = 0

g''( - i ) = 6.[ 5.(-i)⁴ + 6.(-i)^2 + 1 ) = 6.( 5 - 6 + 1 ) = 0


g'''( z ) = 24z.( 5z² + 3 )


As funções derivadas são definidas por : g'( z ) = 6z( z² + 1 )^2 e g''( z ) = 6.( 5z⁴ + 6z² + 1 ) , logo os zeros de g'( z ) e g''( z ) coincidem com os de g( z ). Como g'''( z ) = 24z( 5z² + 3 ) , para z = i e z = - i , verifica-se que g'''( i ) ≠ 0 e g'''( - i ) ≠ 0. Os zeros da função g( z ) são pois zeros de ordem 3.


Por outro lado;

p( z ) = [tex3]\frac{e^z-e^{-z}}{2}[/tex3]

Fazendo p( z ) = 0

[tex3]e^z-e^{-z}=0[/tex3]

[tex3]e^z=e^{-z}[/tex3]

[tex3]e^{2z}=1[/tex3]

Pelo teorema: [tex3]e^z=1[/tex3] ⇔ z = 2kπi, k ∈ Z , então;

[tex3]e^{2z}=1[/tex3] ⇔ 2z = 2kπi , k ∈ Z

⇔ [tex3]z_{k}[/tex3] = kπi , k ∈ Z

Outra maneira de se resolver seria:

[tex3]e^z=e^{-z}[/tex3]

[tex3]ln \ e^z=ln \ e^{-z}[/tex3]

z.ln e = - z.ln e

z = - z + 2kπi , k ∈ Z

2z = 2kπi , k ∈ Z

Logo,

z = kπi , k ∈ Z

Portanto, os zeros da função p( z ) são:

z [tex3]_{k}[/tex3] = kπi , k ∈ Z


Ainda;

p'( z ) = [tex3]\frac{e^z+e^{-z}}{2}=0[/tex3]

[tex3]e^z= - e^{-z}[/tex3]

[tex3]e^{2z}=-1[/tex3] ⇔ 2z = iπ + 2kπi , k ∈ Z

⇔ [tex3]z=\frac{iπ.(2k+1)}{2}[/tex3] , k ∈ Z

e como kπi = [tex3]\frac{iπ.(2k+1)}{2}[/tex3] → 2k = 2k + 1 é impossível, tem-se que p'( z [tex3]_{k}[/tex3] ) ≠ 0 e assim os zeros de sh z são simples.


Nota

Como eu havia falado na questão anterior, faz muito tempo que eu estudei este assunto ( uns 20 anos ) , então , apartir da palavra " Ainda " para baixo não tenho tanta convicção da resposta, de qualquer forma espero ter contribuído com algo!


Bons estudos!