Ensino Superior ⇒ Questão de iniciação científica à teoria dos números

[rosabranca99]

Olá, alguém poderia me ajudar com a solução dessa questão?
Mostre que se (n-1^2)|(n^k-1) então (n-1)|k.

[matbatrobin]

Creio que o problema seja mostrar que [tex3](n-1)^2|(n^k -1) \Rightarrow (n-1)|k[/tex3] com n subtendido ser um inteiro maior ou igual a 2 e k natural.

Pelo binômio de newton, temos:

[tex3]n^k = [(n-1)+1]^k=\begin{pmatrix} k \\ 0 \\ \end{pmatrix} (n-1)^k + \begin{pmatrix} k \\ 1 \\ \end{pmatrix} (n-1)^{k-1} + ... + \begin{pmatrix} k \\ k-2 \\ \end{pmatrix} (n-1)^2 + \begin{pmatrix} k \\ k-1 \\ \end{pmatrix}(n-1) + \begin{pmatrix} k \\ k \\ \end{pmatrix} 1 \\ \,\,\,\,\,\,\,= (n-1)^k+ \begin{pmatrix} k \\ 1 \\ \end{pmatrix} (n-1)^{k-1} + ... + \begin{pmatrix} k \\ k-2 \\ \end{pmatrix} (n-1)^2 + k(n-1) +1[/tex3]

Assim, [tex3]n^k -1 = (n-1)^k + \begin{pmatrix} k \\ 1 \\ \end{pmatrix} (n-1)^{k-1} + ... + \begin{pmatrix} k \\ k-2 \\ \end{pmatrix} (n-1)^2 + k(n-1)[/tex3], onde fica óbvio que todos os termos são divisíveis por [tex3](n-1)^2[/tex3] com exceção de [tex3]k(n-1)[/tex3]. Dessa forma, [tex3](n^k -1)[/tex3] só será divisível por [tex3](n-1)^2[/tex3] se [tex3]k(n-1)[/tex3] também for, ou seja, [tex3]k(n-1)=(n-1)^2 q, \,q\in \mathbb{N} \Rightarrow k = (n-1) q \ \Leftrightarrow (n-1)|k[/tex3], o que encerra a demonstração.