Ensino Superior ⇒ Conjunto Aberto Tópico resolvido

[HI3ss]

Gostaria de saber como verificar se os conjuntos no [tex3]\mathbb{R}[/tex3]² são abertos.

A ideia seria pensar em um raio que delimite isso?

No caso, segue o exemplo:

{(x,y)[tex3]\in \mathbb{R}[/tex3]² | x² + y² < 1}


por favor, me ajudem com uma verificação matemática!

[Cardoso1979]

Observe

Uma solução:

Seja B( 0 , 1 ) = { ( x , y ) ∈ IR²/ x² + y² < 1 }. Assim, B( 0 ,1 ) é um conjunto aberto. De fato, denotando por d( x , y ) a distância entre os pontos x , y em IR² , se x ∈ B( 0 , 1 ) então d( x , 0 ) < 1 ; tomando [tex3]r_{1}[/tex3] = 1 - d( x , 0 ) < 1 , temos : B( x , [tex3]r_{1}[/tex3] ) ⊂ B( 0 , 1 ). c.q.v.


Nota

B( 0 , 1 ) é o "interior" de um círculo centrado na origem e raio 1 , ou equivalentemente, o conjunto dos vetores no plano de origem em ( 0 , 0 ) e norma menor que 1. Neste caso, o conjunto B( 0 , 1 ) é chamado disco aberto de centro ( 0 , 0 ) e raio 1.

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Bons estudos!