Ensino Médio ⇒ Teorema da Bissetriz Interna Tópico resolvido

[Auto Excluído (ID:21471)]

Considerando as medidas indicadas na figura e sabendo que o círculo está inscrito no triângulo, determine x.

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Resposta

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15

[Auto Excluído (ID:12031)]

tutorgeom.png (262.18 KiB) Exibido 7484 vezes

os triângulos retângulos [tex3]\Delta AXI[/tex3] e [tex3]\Delta AYI[/tex3] são congruentes (iguais) por terem mesma hipotenusa [tex3]AI[/tex3] e mesmo catetos: [tex3]YI = XI[/tex3]

logo [tex3]AX= AY = 3[/tex3] logo o lado esquerdo vale [tex3]6+3=9[/tex3]

sabemos que [tex3]6+x = 7+y \implies y = x-1[/tex3]
apliquemos o teorema da bissetriz interna com relação ao vértice A:

[tex3]\frac{9}{7} = \frac{3+x}{x-1} \implies 9x-9 = 21 + 7x \implies 2x = 30 \implies x=15[/tex3]

[Gwynbleidd]

Só não consegui entender [tex3]6+x=7+y[/tex3], pode me explicar?

[Auto Excluído (ID:12031)]

são duas formas de descrever o lado de baixo (BC):

o mesmo argumento que eu usei para mostrar que [tex3]AX = AY[/tex3] pode ser usado pra mostrar que as distâncias entre o vértice a esquerda (vou chamar ele de B) e os pontos de tangencia da circunferência aos lados AB e BC são iguais. Isso é, se [tex3]Z[/tex3] é o encontro da circunferência com o lado BC então [tex3]BX = BZ = 6[/tex3] e [tex3]CY = CZ = x[/tex3]
logo [tex3]BC = BZ + CZ = 6+x[/tex3]

mas olhando pelo pé da bissetriz a partir de [tex3]A[/tex3] (vou chamar esse pé de [tex3]M[/tex3]) temos [tex3]BM = 7[/tex3] e portanto [tex3]y = CM = BC - BM = (6+x)-7 = x-1[/tex3]

[Gwynbleidd]

Entendi agora, eu tava pensando que o encontro da bissetriz com o lado BC era o ponto de tangência, muito obrigado!

[graceraira]

são duas formas de descrever o lado de baixo (BC):

o mesmo argumento que eu usei para mostrar que [tex3]AX = AY[/tex3] pode ser usado pra mostrar que as distâncias entre o vértice a esquerda (vou chamar ele de B) e os pontos de tangencia da circunferência aos lados AB e BC são iguais. Isso é, se [tex3]Z[/tex3] é o encontro da circunferência com o lado BC então [tex3]BX = BZ = 6[/tex3] e [tex3]CY = CZ = x[/tex3]
logo [tex3]BC = BZ + CZ = 6+x[/tex3]

mas olhando pelo pé da bissetriz a partir de [tex3]A[/tex3] (vou chamar esse pé de [tex3]M[/tex3]) temos [tex3]BM = 7[/tex3] e portanto [tex3]y = CM = BC - BM = (6+x)-7 = x-1[/tex3]

Desculpa, mas eu fiquei com dúvida. Não consegui identificar todas as letras no triângulo. Você poderia colocar no desenho?

triangulo.jpg (15.32 KiB) Exibido 6933 vezes

[Auto Excluído (ID:12031)]

graceraira, você errou o ponto C ele é o vértice da direita do triângulo maior. BC é o lado oposto ao vértice A no triângulo que circunscreve a circunferência tanto é que ele vale 7+y

[Jhonatan]

Alguém poderia explicar, novamente, por quê 6 + x = 7 + y ? Eu li a explicação mas não entendi.

[petrasMOD]

Jhonatan,

ZC = X
DC = Y
BZ + ZC = BD + DC --: 6 + X =7 + Y

[Jhonatan]

muito obrigado pela ajuda, petras!!!!!