Estude! Com Prof. Caju

Consegui demonstrar duas coisas controversas nessa questão, alguém poderia me ajudar? Segue o que eu fiz:

Discuta a continuidade da seguinte função:

[tex3]f(x,y)=\begin{cases}
\frac{x^3}{x^2+y^2},~se~(x,y)\neq (0,0) \\
0~,~se~(x,y)=(0,0)
\end{cases}[/tex3]

[tex3]\lim_{(x,y) \rightarrow (0,0)} \frac{x^3}{x^2+y^2}[/tex3]

Pelo caminho da reta [tex3]y=x:[/tex3]

[tex3]\lim_{(x,x) \rightarrow (0,0)} \frac{x^3}{x^2+x^2}=\lim_{(x,x) \rightarrow (0,0)} \frac{x}{2}=0[/tex3]

Pelo caminho do eixo [tex3]x[/tex3]:

[tex3]\lim_{(x,0) \rightarrow (0,0)} \frac{x^3}{x^2+0}=0[/tex3]

Pelo caminho da reta [tex3]x=1[/tex3]:

[tex3]\lim_{(1,y) \rightarrow (0,0)} \frac{x^3}{x^2+y^2}=\lim_{(1,y) \rightarrow (0,0)} \frac{1^3}{1^2+y^2}=1[/tex3]

Apesar de eu ter achado limites diferentes, o limite existe e a função é contínua em [tex3](0,0)[/tex3] alguém pode me dizer onde foi que eu errei?

Observe

Solução:

I - Para ( x , y ) ≠ ( 0 , 0 ) :

[tex3]f(x,y)=\frac{x^3}{x^2+y^2}[/tex3]

• Quociente de funções contínuas
• f( x , y ) é contínua em ( x , y ) ≠ ( 0 , 0 )


I I - Para ( x , y ) = ( 0 , 0 ) :

f( 0 , 0 ) = 0

Para f( x , y ) ser contínua em ( 0 , 0 ) :

[tex3]\lim_{(x,y) \rightarrow \ (0,0)}\left(\frac{x^3}{x^2+y^2}\right)=f(0,0)=0[/tex3]

Vamos então "calcular" o limite, vem:

[tex3]\lim_{(x,y) \rightarrow \ (0,0)}\left(\frac{x^3}{x^2+y^2}\right)=\frac{0}{0}(indeterminação!!)[/tex3]

Podemos então escrever esse limite como

[tex3]\lim_{(x,y) \rightarrow \ (0,0)}\left(x.\frac{x^2}{x^2+y^2}\right)[/tex3]

[tex3]•\lim_{(x,y) \rightarrow \ (0,0)}x=0 \ ; \ •0≤\frac{x^2}{x^2+y^2}≤1(função \ limitada!)[/tex3]

Assim, pelo teorema do anulamento, temos que

[tex3]\lim_{(x,y) \rightarrow \ (0,0)}\left(\frac{x^3}{x^2+y^2}\right)=0[/tex3]

[tex3]Como \ \lim_{(x,y) \rightarrow \ (0,0)}\left(\frac{x^3}{x^2+y^2}\right)=f(0,0)=0[/tex3] , então f( x , y ) é contínua em ( 0 , 0 ) , veja que nós vimos acima( no início ) que f( x , y ) é contínua também em ( x , y ) ≠ ( 0 , 0 ) , portanto a função é contínua em todo IR².



Bons estudos!