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Uma partícula executa um movimento que se dá ao longo do eixo [tex3]x [/tex3] e experimenta uma força resistiva oposta a seu movimento, devido ao meio. Tal força [tex3]F [/tex3] é proporcionl a velocidade [tex3]v [/tex3] e tem módulo [tex3]F=kmv[/tex3] [Não esqueça qque [tex3]v=v(t)][/tex3]
a) Determine a posição [tex3]x(t) [/tex3] e a velocidade em um instante [tex3]t [/tex3] qualquer. Considere que a partícula da "origem" do sistema de referência (veja Figura 2.4) com as seguintes condições [tex3]v(t=o)=v_{0} [/tex3] e [tex3]x(t=0)=0 [/tex3].

b) Represente os gráficos de v x t (velocidade versus tempo) e [tex3]x\times t [/tex3] (posição versus tempo) da partícula

c) Analise e interprete o resultado dos gráficos obtidos no item "b";

d) Obtenha uma expressão para a velocidade em função da posição da partícula, [tex3]v=v(x)[/tex3];


e) Represente graficamente a função [tex3]v = v(x) [/tex3] obtida no ítem “d”;

(f) Analise e interprete o resultado do gráfico obtido no ítem “e”

Pelo Jeito que o problema é apresentado, o certo seria [tex3]F=-kmv[/tex3] uma vez que a força de atrito é oposta a velocidade. Se fosse no mesmo sentido, ela aceleraria o objeto ao invés de freia-lo.

Eu vou fazer a letra "a" e a letra "e". Se tiver dúvidas com relação a interpretação gráfica, coloque os gráficos aqui pra gente analisar.

Vou supor sem a força da gravidade na vertical. Caso faça menção disso na solução, eu refaço o problema considerando a curvatura que a bala faz. Portanto, vou considerar apenas que ela segue na horizontal e usarei apenas o módulo ao invés de uma abordagem vetorial.

[tex3]F=-kmv[/tex3]
[tex3]ma=-kmv[/tex3]
[tex3]a=-kv[/tex3]

1) Determinando v(t)

[tex3]a=\frac{\mathrm{d}v }{\mathrm{d} t}=-kv[/tex3]

[tex3]\frac{\mathrm{d}v }{v}=-k\mathrm{d} t[/tex3]

[tex3]\int\frac{\mathrm{d}v }{v}=-\int k\mathrm{d} t[/tex3]

[tex3]\ln v=-kt+C;\quad C\in\mathbb{R}[/tex3]

O problema deu que quando [tex3]t=0[/tex3], [tex3]v=v_0[/tex3].

[tex3]\ln v_0=C[/tex3]

Daí,

[tex3]\ln v=-kt+\ln v_0[/tex3]

[tex3]\ln \(\frac{v}{v_0}\)=-kt[/tex3]

Então,

[tex3]\boxed{v(t)=v_0\cdot e^{-kt}}[/tex3]

2) Determinando x(t)

[tex3]v(t)=\frac{\mathrm{d}x }{\mathrm{d} t}=v_0\cdot e^{-kt}[/tex3]

[tex3]\mathrm{d}x =v_0\cdot e^{-kt}\mathrm{d} t[/tex3]

[tex3]\int\mathrm{d}x =\int v_0\cdot e^{-kt}\mathrm{d} t[/tex3]

[tex3]x=v_0\cdot \frac{e^{-kt}}{-k}+D;\quad D\in\mathbb{R}[/tex3]

Pelo enunciado, qunado t=0, x=0

[tex3]0=v_0\cdot\frac{1}{-k}+D[/tex3]

[tex3]D=\frac{v_0}{k}[/tex3]

Então,

[tex3]x=-v_0\cdot \frac{e^{-kt}}{k}+\frac{v_0}{k}[/tex3]

[tex3]\boxed{x(t)=\frac{v_0}{k}\(1-e^{-kt} \)}[/tex3]

3) Determinando v(x)

[tex3]a=\frac{\mathrm{d}v }{\mathrm{d} t}=-kv[/tex3]

Utilizando regra da cadeia

[tex3]\frac{\mathrm{d}v }{\mathrm{d} t}=\frac{\mathrm{d}v }{\mathrm{d} x}\cdot\frac{\mathrm{d}x }{\mathrm{d} t}=-kv[/tex3]

Sabemos que [tex3]\frac{\mathrm{d}x }{\mathrm{d} t}=v[/tex3]. Daí,

[tex3]\frac{\mathrm{d}v }{\mathrm{d} x}\cdot v=-kv[/tex3]

[tex3]\frac{\mathrm{d}v }{\mathrm{d} x}=-k[/tex3]

[tex3]\mathrm{d}v=-k\mathrm\cdot{d} x[/tex3]

[tex3]\int\mathrm{d}v=-k\int\mathrm{d} x[/tex3]

[tex3]v=-k\cdot x+E;\quad E\in\mathbb{R}[/tex3]

No instante inicial, [tex3]x=0 [/tex3] e [tex3]v=v_0[/tex3]. Daí,

[tex3]v_0=E[/tex3]

Portanto,

[tex3]\boxed{v(x)=-k\cdot x+v_0}[/tex3]