Olimpíadas ⇒ Seleção ConeSul Brasil - Geometria Tópico resolvido

[GabrielOBM]

Um triângulo equilátero RST está inscrito em uma circunferência A, e possuí incírculo W. Os pontos P e Q são escolhidos sobre RS, RT, respectivamente tais que PQ é tangente a W.
A circunferência B possuí centro P e passa por S, e C a circunferência que tem centro Q e passa por T. Prove que A,B,C tem um ponto em comum.

[Auto Excluído (ID:12031)]

parece falso

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[GabrielOBM]

Desculpa, troquei dois pontos. Já corrigi, caso apareca algo estranho, consulte o site de treinamento da ConeSul. A prova está lá, é o teste de 2018, o primeiro.

[Auto Excluído (ID:12031)]

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[tex3]G = RT \cap W[/tex3], [tex3]Z = PQ \cap W[/tex3], [tex3]D = A \cap B - \{S\}[/tex3], [tex3]M=W \cap RS[/tex3].
[tex3]O[/tex3] centro de [tex3]W[/tex3] ([tex3]F[/tex3] no desenho é a reflexão de [tex3]O[/tex3] em relação à [tex3]PQ[/tex3])
O problema se resume a provar que [tex3]Z,O,D[/tex3] são alinhados.

A reta [tex3]S,O,G[/tex3] é perpendicular à [tex3]RT[/tex3].
Deixe a semi-reta [tex3]ZO[/tex3] encontrar [tex3]B[/tex3] em [tex3]D'[/tex3] então [tex3]\Delta SGP \equiv \Delta PZD'[/tex3] por que são retângulos de mesmo cateto [tex3]PZ=PG[/tex3] e hipotenusa.
Então [tex3]ZD' = SG = 3ZO[/tex3] repare então que [tex3]OD' = 3ZO - OZ = 2OZ[/tex3] que é o raio de [tex3]A[/tex3] então [tex3]D'[/tex3] está tanto em [tex3]A[/tex3] como em [tex3]B[/tex3] portanto [tex3]D=D'[/tex3] e então [tex3]O,Z,D[/tex3] são alinhados.

Agora acabou, basta notar que [tex3]\Delta TMQ \equiv \Delta DZQ[/tex3] pois são retângulos de dois catetos iguais.
Então [tex3]QT = QD[/tex3] e então [tex3]D[/tex3] está em [tex3]C[/tex3]

[GabrielOBM]

Boa!!! Quanto tempo voce demorou pra perceber isso??

[Auto Excluído (ID:12031)]

eu demorei umas 3 horas, com o geogebra hehehe. Mas é pq eu sou lento, eu só pensei em usar [tex3]PG = PQ[/tex3] depois de muito tempo, quando deveria ter sido uma das primeiras coisas pra eu pensar, pra ir pra essas provas precisa de preparo!

[GabrielOBM]

Ss, vou fazer essa prove final desse mês.... quantos anos vc tem??? E parabéns pela dedicação, e passa pra dar um molhada naquele problema de algebra, que tb postei, consegui achar uma bela solução.