Olimpíadas ⇒ (Opm 1999) Quantidade de Algarismos

[dylanchan0910]

No número 5 da revista EUREKA, à página 6, veio a seguinte nota:

O maior número primo conhecido é [tex3]2^{6972593}-1[/tex3], que tem 2.098.960 dígitos e foi descoberto em 01/06/1999 por Nayan Hafratwala, um participante do GIMPS, um projeto cooperativo para procurar primos de Mersenne.
Consulte na Internet a página http://www.mersenne.org/prime.htm

a) Mostre que se um número inteiro positivo [tex3]N[/tex3] tem k algarismos, então [tex3]k - 1\le \log N < k[/tex3] .
b) A partir das informações anteriores, determine um valor aproximado de [tex3]\log 2[/tex3]. (Apresente sua resposta com cinco casas decimais depois da vírgula.)

[Auto Excluído (ID:12031)]

se [tex3]N[/tex3] tem [tex3]k[/tex3] algarismos então
[tex3]10^{k-1} \leq N \leq 10^{k}-1[/tex3]
tirando o [tex3]\log_{10}[/tex3] dos lados:
[tex3]k -1\leq \log N < k[/tex3]

b-) Tome [tex3]N = 2^{x}[/tex3], [tex3]x \in \mathbb N[/tex3]
[tex3]k-1 \leq x \log_{10}2 < k \iff \frac{k-1}x \leq \log_{10}2 <\frac kx[/tex3]
ou seja
[tex3]|log_{10}2 - \frac kx| \leq \frac1x[/tex3]
no caso queremos [tex3]\frac1x \leq 10^{-5} \iff x \geq 10^5[/tex3]

ai é só botar [tex3]x=6972593[/tex3] e [tex3]k = 2.098. 960[/tex3]
[tex3]\log_{10}2 \approx \frac{2.098. 960}{6972593} = 0,30103[/tex3]