Olimpíadas ⇒ Olimpíada Iberoamericana de Matemática - Funções

[GabrielOBM]

Encontre todas as funcões [tex3]f:N \longrightarrow N[/tex3] satisfazendo para todo [tex3]x,y\in N[/tex3], as condições a seguir:
1- [tex3]x>y\longrightarrow f(x) > f(y) [/tex3]
2- [tex3]f(yf(x))=x^2f(xy)[/tex3]

[Auto Excluído (ID:12031)]

como [tex3]f[/tex3] é monótona, então ela é injetora. Pois se

[tex3]f(x_1) = f(x_2)[/tex3] e [tex3]x_1 \neq x_2[/tex3] então da tricotomia ou [tex3]x_1 < x_2 \implies f(x_1) < f(x_2)[/tex3] absurdo, ou [tex3]x_2 < x_1 \implies f(x_2) < f(x_1)[/tex3].

Faça [tex3]x=y=1[/tex3] então [tex3]f(f(1)) = f(1)[/tex3] como [tex3]f[/tex3] é injetora então [tex3]f(1) = 1[/tex3]

Agora jogue [tex3]y=1[/tex3] e deixe [tex3]x[/tex3] como variável:
[tex3]f(f(x)) = x^2f(x)[/tex3]

Se existir algum [tex3]a \in \mathbb {N}[/tex3] tal que [tex3]a=f(a)[/tex3] teremos [tex3]a = a^3 \iff a = 1[/tex3]
então [tex3]\forall x\neq 1[/tex3] temos [tex3]f(x) \neq x[/tex3].

Tome um [tex3]b[/tex3] natural qualquer e coloque [tex3]x=f(b)[/tex3] em [tex3]f(yf(x)) = x^2f(xy)[/tex3]
[tex3]f(yf(f(b)) = f(b)^2f(yf(b))[/tex3]
mas [tex3]f(f(b)) = b^2f(b)[/tex3]
[tex3]f(yb^2f(b)) = f(b)^2f(yf(b)) = f(b)^2b^2f(by)[/tex3]
e
[tex3]f(yb^2f(b)) = b^2f(yb^3) \iff f(yb^3) = f(b)^2f(by)[/tex3]
acho que é um resultado bom

[undefinied3]

As funções que eu encontrei que satisfazem a segunda condição mas não necessariamente a primeira ou o domínio/contra-domínio são [tex3]\pm x^2[/tex3] e [tex3]\frac{1}{x}[/tex3] mas eu não consegui argumentar de maneira razoável. Talvez conhecer essas duas funções ajude a chegar em algo também.

[Auto Excluído (ID:12031)]

[tex3]f(yb^2f(b)) = b^2f(yb^3) \iff f(yb^3) = f(b)^2f(by)[/tex3]
acho que é um resultado bom

coloca [tex3]y=1[/tex3] e [tex3]f(b^3) =f(b)^3[/tex3]
coloca [tex3]y=a^3[/tex3] para um [tex3]a[/tex3] aleatório:
[tex3]f(a^3b^3) = f(b)^2f(ba^3) = f(b)^2f(a)^2f(ba)[/tex3]
como
[tex3]f(a^3b^3) = f(c^3) = f(c)^3 = f(ab)^3[/tex3]
então
[tex3]f(ab)^2 = f(b)^2f(a)^2[/tex3]
como o contra-domínio de [tex3]f[/tex3] são os naturais [tex3]f(x)>0[/tex3] sempre portanto temos
[tex3]f(ab) = f(b)f(a)[/tex3]
então temos que [tex3]f[/tex3] é crescente e multiplicativa, um resultado clássico diz que [tex3]f(x) = x^n[/tex3] para algum [tex3]n>0[/tex3]
substituindo na expressão original encontramos [tex3]n=2[/tex3]
então [tex3]f(x) = x^2[/tex3]

os resultados básicos que é bom saber de cor são:

1) Equações funcionais de Cauchy
a) f(x+y)=f(x)+ f(y) f(x) = c*x (linear)
b) f(x+y)=f(x)*f(y) f(x)=a^x (exp)
c) f(x*y)=f(x)+f(y) f(x)=c*lnx (log)
d)f(x*y)=f(x)*f(y) f(x)=x^c

essas equações de cauchy por si só não são suficientes pra resolver pra toda [tex3]f[/tex3].
Para resolver essas equações completamente você precisa de uma das condições:
-) f é monótona
-) f é limitada em algum intervalo
-) f é contínua em um ponto
essas são as 3 principais