Olimpíadas ⇒ (Olimpíada Peruana) Primos Tópico resolvido

[LucasOBM]

Determine todos os inteiros positivos a, b e c tais que a²+1 e b²+1 são primos e (a²+1)(b²+1) = c²+1

[Ittalo25MOD]

Alguns pensamentos sobre essa questão:

[tex3]c^2+1 = (a^2+1)\cdot (b^2+1) = (ab+1)^2 + (a-b)^2 [/tex3]
[tex3]c^2- (a-b)^2 = (ab+1)^2 -1[/tex3]
[tex3](c-a+b) \cdot (c+a-b) = ab \cdot (ab+2)^2 [/tex3]

[tex3]ab | (c-a+b) \cdot (c+a-b) [/tex3]
[tex3]ab | c^2-a^2-b^2 [/tex3]

Interessante notar que esses primos ou são iguais a 2 ou são da forma 4k+1. Prova: Two squares primes

E ambos não podem ser 2 ao mesmo tempo, já que teríamos [tex3]c^2 = 3 [/tex3]

[Ittalo25MOD]

Acho que saiu agora

Se a=b, então:

[tex3](a^2+1)^2 = c^2+1 [/tex3]
[tex3]a^2\cdot (a^2+2) = c^2 [/tex3]
Ou seja:
[tex3]a^2+2 = x^2 [/tex3]
[tex3]2 = (x-a)(x+a) [/tex3]
[tex3]\begin{cases}
x+a = 2 \\
x-a= 1
\end{cases} \rightarrow a = \frac{1}{2} \space \space \space \space \text{não serve}[/tex3]

Então sem perda de generalidade: [tex3]b>a [/tex3]

[tex3]ab| c^2-a^2-b^2 [/tex3]
[tex3]ab| a^2c^2-a^4-a^2b^2 [/tex3]
[tex3]ab| a^2 \cdot (c^2-a^2) [/tex3]
Mas pela suposição: [tex3]b>a \rightarrow ab>a^2[/tex3], então:
[tex3]ab|c^2-a^2 [/tex3]
[tex3]ab|c^2+1-a^2-1 [/tex3]
[tex3]ab|(a^2+1)(b^2+1)-a^2-1 [/tex3]
[tex3]ab|(a^2+1)(b^2) [/tex3]
Mas pela suposição: [tex3]b>a \rightarrow ab>a^2 \rightarrow ab \geq a^2+1[/tex3]
Podemos ter: [tex3]a^2+1 = ab [/tex3], mas [tex3]a^2+1 [/tex3] é primo, portanto: [tex3]\boxed{a = 1\rightarrow b = 2 \rightarrow c = 3}[/tex3]
Do contrário:
[tex3]ab|b^2 [/tex3]
[tex3]a|b \rightarrow b = ka[/tex3]

[tex3](k^2a^2+1)(a^2+1) = c^2+1 [/tex3]
[tex3]a^2 \cdot (k^2a^2+k^2+1) = c^2 [/tex3]
Sendo assim, [tex3]a|c \rightarrow c = ay[/tex3]

[tex3](a^2+1)(b^2+1) = c^2+1 [/tex3]
[tex3]a^2b^2+a^2+b^2 = c^2 [/tex3]
[tex3]b^2+1+\frac{b^2}{a^2} = \frac{c^2}{a^2} [/tex3]
[tex3]b^2+1= \frac{c^2}{a^2}-\frac{b^2}{a^2} = (\frac{c}{a}-\frac{b}{a}) \cdot (\frac{c}{a}+\frac{b}{a})[/tex3]
Esses dois fatores são números inteiros e multiplicados dão um número primo, ou seja:
[tex3]\frac{c}{a}-\frac{b}{a}= 1[/tex3]
[tex3]c= a+b[/tex3]

Finalmente:
[tex3](a^2+1)(b^2+1) = (a+b)^2+1 [/tex3]
[tex3]ab \cdot (ab -2) =0[/tex3]
[tex3]ab = 2[/tex3]

Ou seja, a única solução é: [tex3]\boxed{a = 1\rightarrow b = 2 \rightarrow c = 3}[/tex3]