Ensino Médio ⇒ (Aref) Função Quadrática Tópico resolvido

[estudante9]

Considere a função quadrática definida por:

[tex3]f(x)=(3a-2)x^2+2ax+3a[/tex3]

Determine a para que a equação [tex3]f(x)=0[/tex3] admita uma raiz e uma só "entre" -1 e 0.

Resposta

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[tex3]0< a<\frac{1}{2}[/tex3]

[MateusQqMDMOD]

Seja [tex3]f(X)=(3a-2)X^2+2aX+3a[/tex3]

Da condição de existência de [tex3]f(X)[/tex3], temos [tex3]3a - 2 \neq 0\,\,\, \Longleftrightarrow\,\,\, a \neq \frac{2}{3}[/tex3]

Sabemos ainda que para as raízes serem reais devemos ter discriminante maior ou igual a zero,

[tex3]\Delta = (2a)^2 - 4(3a -2)(3a) \geq 0 [/tex3]

[tex3]\Delta = -32a^2 +24a \geq 0 [/tex3]

[tex3]\Delta = -32a^2 +24a \geq 0\,\,\, \Rightarrow \,\,\, 0 \leq a \leq \frac{3}{4}[/tex3]

Por fim, pelo Teorema de Bolzano

Se tivermos uma função [tex3]f[/tex3], contínua num intervalo ]a, b[, e se [tex3]f(a).f(b) < 0[/tex3] , então existe uma quantidade ímpar de raízes nesse intervalo.

Segue, daí, que, por [tex3]f[/tex3] ser do segundo grau, essa raiz será única

[tex3]f(-1)\cdot f(0) < 0 [/tex3]

[tex3](4a -2)(3a) < 0\,\,\, \Rightarrow \,\,\, 0 < a < \frac{1}{2}[/tex3]