Ensino Médio ⇒ (Aref) Domínio da função

[estudante9]

Condição para que o domínio da função definida por:

[tex3]f(x)=[px^{2}+2\sqrt{(a+2).p}.x+2]^{\frac{1}{2}}[/tex3]

Seja ℝ.

Resposta

---

[tex3]p=0[/tex3] ou ([tex3]p>0 \ \ e \ -2\leq a<0[/tex3])

[joaopcarvMOD]

Eu fiz assim, mas os mestres daqui podem nos ajudar melhor, caso precise Vou considerar que a função exponencial [tex3]\mathsf{f_{(x)}}[/tex3] esteja definida para todo [tex3]\mathsf{x \in \mathbb{R}}[/tex3]

[tex3]\mathsf{\forall \sqrt{x} \in \mathbb{R}, x \geq 0 \ \rightarrow}[/tex3]

[tex3]\mathsf{\sqrt{(a \ + \ 2)\cdot p} \ \geq \ 0 \rightarrow}[/tex3]

[tex3]\mathsf{(a \ + \ 2)\cdot p \ \geq \ 0}[/tex3]

[tex3]\mathsf{(a \ + \ 2) \ \geq \ 0}[/tex3] e [tex3]\mathsf{p \ \geq \ 0}[/tex3] ou [tex3]\mathsf{(a \ + \ 2) \ < \ 0}[/tex3] e [tex3]\mathsf{p \ < \ 0} \ \rightarrow[/tex3] Vamos separar por casos:

[tex3]\mathsf{\bullet \ p \geq 0 \hookrightarrow}[/tex3]

[tex3]\mathsf{a \ + \ 2 \ \geq \ 0 \ \therefore \ \boxed{\mathsf{a \ \geq \ -2}}}[/tex3]

A função [tex3]\mathsf{g_{(x)} \ = \ p\cdot x^2 \ + \ 2\cdot\sqrt{(a \ + \ 2)\cdot p} \cdot x \ + \ 2}[/tex3] é crescente, condizendo assim com [tex3]\mathsf{f_{(x)} \ = \ (p\cdot x^2 \ + \ 2\cdot\sqrt{(a \ + \ 2)\cdot p} \cdot x \ + \ 2)^{^\frac{1}{2}}}[/tex3] estar definida [tex3]\mathsf{\forall \ x \in \mathbb{R}}[/tex3] (só faltando assim fazer outra análise);

[tex3]\mathsf{\bullet \ p < 0 \hookrightarrow}[/tex3]

A função [tex3]\mathsf{g_{(x)} \ = \ p\cdot x^2 \ + \ 2\cdot\sqrt{(a \ + \ 2)\cdot p} \cdot x \ + \ 2}[/tex3] é decrescente, tornando parte de sua imagem (pelo menos) negativa, não condizendo então com [tex3]\mathsf{f_{(x)} \ = \ \sqrt{g_{(x)}}}[/tex3] definida [tex3]\mathsf{\forall \ x \in \mathbb{R}\dots}[/tex3]

Então, descartamos a possibilidade de [tex3]\mathsf{(a \ + \ 2) \ < \ 0}[/tex3] e [tex3]\mathsf{p \ < \ 0} [/tex3]

Ok, agora analisando [tex3]\mathsf{f_{(x)}}[/tex3], temos dois casos:

Primeiro caso [tex3]\Rrightarrow\mathsf{p = 0}[/tex3], temos [tex3]\mathsf{(\cancelto{0}{p\cdot x^2} \ + \ \cancelto{0}{2\cdot\sqrt{(a \ + \ 2)\cdot p} \cdot x} \ + \ 2)^{^\frac{1}{2}} \rightarrow}[/tex3]

[tex3]\mathsf{f_{(x)} \ = \ 2^{^\frac{1}{2}} \ \forall \ x \in \ \mathbb{R}}[/tex3] (anulando a condição de existência de [tex3]\mathsf{a}[/tex3])

Segundo caso [tex3]\Rrightarrow\mathsf{p \geq 0}[/tex3], temos que, para respeitar a definição de [tex3]\mathsf{f_{(x)}}[/tex3], [tex3]\mathsf{\Delta(p\cdot x^2 \ + \ 2\cdot\sqrt{(a \ + \ 2)\cdot p} \cdot x \ + \ 2) \ \leq \ 0}[/tex3] (função crescente sem imagem negativa):

[tex3]\mathsf{(2\cdot\sqrt{(a \ + \ 2)\cdot p})^2 \ - \ 4\cdot p\cdot2 \ \leq \ 0 \ \rightarrow}[/tex3]

[tex3]\mathsf{8\cdot p \ + \ 4\cdot a \cdot p \ - \ 8\cdot p \ \leq \ 0 \ \rightarrow}[/tex3]

[tex3]\mathsf{4\cdot a \cdot p \ < \ 0 \rightarrow}[/tex3] Considerando [tex3]\mathsf{p \ > \ 0}[/tex3], para tal expressão ser menor que zero, [tex3]\mathsf{a \ \leq \ 0.}[/tex3]

Logo, [tex3]\boxed{\boxed{\mathsf{p \ = \ 0 \ ou \ p > 0 \ \ e \ -2 \ \leq \ a\ \leq \ 0}}}[/tex3]

Alguém com mais proficiência pode conferir essa resposta?

[csmarceloMOD]

joaopcarv,

Não entendi o que você quis dizer com [tex3]g(x)[/tex3] ser crescente ou decrescente, visto que é uma parábola. Quis dizer com concavidade para cima ou para baixo?

Fora isso, acredito que você só se confundiu no trecho abaixo, o que, por sorte, não alterou o resultado da análise.

[tex3]\mathsf{(2\cdot\sqrt{(a \ + \ 2)\cdot p})^2 \ - \ 4\cdot{\color{red}a}\cdot2 \ < \ 0}[/tex3]

Esse [tex3]a[/tex3] não deveria ser [tex3]p[/tex3]?

[joaopcarvMOD]

joaopcarv,

Não entendi o que você quis dizer com [tex3]g(x)[/tex3] ser crescente ou decrescente, visto que é uma parábola. Quis dizer com concavidade para cima ou para baixo?

Fora isso, acredito que você só se confundiu no trecho abaixo, o que, por sorte, não alterou o resultado da análise.

[tex3]\mathsf{(2\cdot\sqrt{(a \ + \ 2)\cdot p})^2 \ - \ 4\cdot{\color{red}a}\cdot2 \ < \ 0}[/tex3]

Esse [tex3]a[/tex3] não deveria ser [tex3]p[/tex3]?

Oi, csmarcelo, eu tive dois erros de digitação no final, já corrigi, obrigado!!

E eu me expressei mal, no caso, é a concavidade mesmo, eu estava pensando em se for "crescente" a função tem um mínimo (concavidade para baixo). Obrigado!! Ah, e eu sem querer selecionei o editor haha

[estudante9]

[tex3]\mathsf{\Delta(p\cdot x^2 \ + \ 2\cdot\sqrt{(a \ + \ 2)\cdot p} \cdot x \ + \ 2) \ \leq \ 0}[/tex3]

O delta não poderia ser 0? Pois [tex3]\sqrt{0}=0[/tex3], ficando a resposta final [tex3]\boxed{\boxed{\mathsf{p \ = \ 0 \ ou \ p > 0 \ \ e \ -2 \ \leq \ a\ \leq \ 0}}}[/tex3]

[joaopcarvMOD]

[tex3]\mathsf{\Delta(p\cdot x^2 \ + \ 2\cdot\sqrt{(a \ + \ 2)\cdot p} \cdot x \ + \ 2) \ \leq \ 0}[/tex3]

O delta não poderia ser 0? Pois [tex3]\sqrt{0}=0[/tex3], ficando a resposta final [tex3]\boxed{\boxed{\mathsf{p \ = \ 0 \ ou \ p > 0 \ \ e \ -2 \ \leq \ a\ \leq \ 0}}}[/tex3]

Faz sentido, eu corrigi lá... eu pensei numa condição de inversa logarítmica, que não admitira [tex3]\mathsf{\log_b \ 0 \dots}[/tex3], mas então não vem ao caso... fora isso, você concorda com a resolução?

[estudante9]

[tex3]\mathsf{\Delta(p\cdot x^2 \ + \ 2\cdot\sqrt{(a \ + \ 2)\cdot p} \cdot x \ + \ 2) \ \leq \ 0}[/tex3]

O delta não poderia ser 0? Pois [tex3]\sqrt{0}=0[/tex3], ficando a resposta final [tex3]\boxed{\boxed{\mathsf{p \ = \ 0 \ ou \ p > 0 \ \ e \ -2 \ \leq \ a\ \leq \ 0}}}[/tex3]

Faz sentido, eu corrigi lá... eu pensei numa condição de inversa logarítmica, que não admitira [tex3]\mathsf{\log_b \ 0 \dots}[/tex3], mas então não vem ao caso... fora isso, você concorda com a resolução?

Sim, foi uma excelente resolução.