Ensino Superior ⇒ Equação geral da RETA [tex3]\Pi [/tex3] Tópico resolvido

[magben]

A reta
[tex3]\begin{cases}
x=5+3t \\
y=-4+2t\\
z=1+t
\end{cases}[/tex3]

é ortogonal ao plano [tex3]\Pi [/tex3] que passa pelo ponto [tex3]A(2,1,-2)[/tex3]. Determinar uma equação geral de [tex3]\Pi [/tex3] e representa-ló graficamente

[Cardoso1979]

Observe

Uma solução:

Um vetor normal a este plano é o próprio vetor diretor da reta dada , ou seja , [tex3]\vec{n}[/tex3] = ( a , b , c ) = ( 3 , 2 , 1 ). Então ;

ax + by + cz + d = 0

3.x + 2.y + 1.z + d = 0

Como π passa por A( 2 , 1 , - 2 ) , vem;

3.2 + 2.1 + 1.( - 2 ) + d = 0

6 + 2 - 2 + d = 0

d = - 6

Logo , uma equação geral de π é 3x + 2y + z - 6 = 0.


Agora vamos representar o plano 3x + 2y + z - 6 = 0, graficamente, temos:

Para x = 0 e y = 0 → z = 6

Para x = 0 e z = 0 → y = 3

Para y = 0 e z = 0 → x = 2


Obtemos, assim , os pontos P( 0 , 0 , 6 ) , Q( 0 , 3 , 0 ) e T( 2 , 0 , 0 ) nos quais o plano intercepta os eixos coordenados.

Graficamente:

15508039871931182594500107864694.jpg (40.21 KiB) Exibido 1064 vezes

Nota

Obviamente que a representação do plano acima é só uma pequena parte dele, pois sabemos que ele é infinito.


Bons estudos!