Ensino Médio ⇒ Diagonais de um polígono regular Tópico resolvido

[bahia9000]

A reta-suporte da bissetriz de um ângulo interno A e a bissetriz de um ângulo externo B, consecutivo a A de um polígono regular, formam um ângulo de 60 graus. Então, qual o número de diagonais desse polígono?


Obrigado!

Resposta

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Resposta: 54

[csmarceloMOD]

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Seja [tex3]n[/tex3] o número de lados do polígono.

A medida dos ângulos internos de um polígono convexo regular de [tex3]n[/tex3] lados é igual a [tex3]\frac{180(n-2)}{n}[/tex3].

[tex3]\alpha=\frac{\frac{180(n-2)}{n}}{2}=\frac{180(n-2)}{2n}[/tex3]
[tex3]\gamma=180-\alpha=180-\frac{180(n-2)}{2n}=\frac{90n+180}{n}[/tex3]

A medida dos ângulos externos de um polígono convexo regular de [tex3]n[/tex3] lados é igual a [tex3]\frac{360}{n}[/tex3]. Portanto, [tex3]\beta=\frac{360}{2n}[/tex3].

[tex3]\beta+\gamma+60=180[/tex3]

[tex3]\frac{360}{2n}+\frac{90n+180}{n}+60=180[/tex3]

[tex3]n=12[/tex3]

O número de diagonais de um polígono convexo de [tex3]n[/tex3] lados é dado por [tex3]\frac{n(n-3)}{2}[/tex3].

Logo, o número de diagonais do polígono em questão é igual a [tex3]\frac{12(12-3)}{2}=54[/tex3].

[bahia9000]

Muito obrigado, Marcelo!! Eu estava desenhando de forma displicente, logo não conseguia visualizar. Abraço!