Pré-Vestibular ⇒ (UEPG - 2002) Progressão Geométrica e Logaritmos

[Natan]

O volume de um líquido volátil diminui de [tex3]20\%[/tex3] por hora. Usando [tex3]\log2 = 0,30,[/tex3] determine o tempo para ele ficar reduzido à sua décima parte.

a) [tex3]t=9\text{ h}[/tex3]
b) [tex3]t=8\text{ h}[/tex3]
c) [tex3]t=10\text{ h}[/tex3]
d) [tex3]t=12\text{ h}[/tex3]
e) [tex3]t=15\text{ h}[/tex3]

[rodrigosnt]

Sendo [tex3]V_0[/tex3] o volume inicial, a cada hora o volume é [tex3]80\%\, (0,8)[/tex3] do anterior, logo temos uma PG em que o primeiro termo é [tex3]V_0\cdot 0,8[/tex3] e a razão é [tex3]0,8:[/tex3]

• [tex3]V(1) = V_0\cdot 0,8\\
  V(2) = V_0\cdot (0,8)^2\\
  V(3) = V_0\cdot (0,8)^3\\
  \ldots \\
  V(t) = V_0\cdot (0,8)^t[/tex3]

Queremos calcular [tex3]t[/tex3] de modo que [tex3]V(t)=\frac{V_0}{10}.[/tex3] Logo,

• [tex3]\frac{V_0}{10} = V_0 \cdot (0,8)^t\\
  \frac{1}{10} = \left(\frac{8}{10}\right)^t\\
  \log10^{-1} = \log\left(\frac{2^3}{10}\right)^t\\
  -1 = t\cdot(\log 2^3 - \log 10)\\
  -1 = t \cdot(3\cdot \log 2- \log10)\\
  -1 = t\cdot(3\cdot 0,3 - 1)\\
  -1= t\cdot (-0,1)\\
  t=10.[/tex3]

Alternativa (c).