Pré-Vestibular ⇒ (UFMG - 2008) Geometria Plana: Polígonos Regulares Tópico resolvido

[Doug]

O octógono regular de vértices [tex3]ABCDEFGH,[/tex3] cujos lados medem [tex3]1 \text{ dm}[/tex3] cada um, está inscrito no quadrado de vértices [tex3]PQRS,[/tex3] conforme mostrado nesta figura:

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Então, é correto afirmar que a área do quadrado [tex3]PQRS[/tex3] é

a) [tex3]1+2\sqrt{2}\text{ dm}^2 .[/tex3]
b) [tex3]1+\sqrt{2}\text{ dm}^2 .[/tex3]
c) [tex3]3+2\sqrt{2}\text{ dm}^2 .[/tex3]
d) [tex3]3+\sqrt{2}\text{ dm}^2 .[/tex3]

Resposta:

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c

[adrianotavares]

Olá, Doug.

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  AE71.png (4.39 KiB) Exibido 20946 vezes

Aplicando Pitágoras no triângulo [tex3]EDR,[/tex3] temos:

• [tex3]1^2 = x^2 + x^2[/tex3]
  [tex3]2x^2 = 1[/tex3]
  [tex3]x^2 = \frac{1}{2}[/tex3]
  [tex3]x= \sqrt{\frac{1}{2}}[/tex3]
  [tex3]x = \frac{\sqrt{2}}{2}[/tex3]

O lado do quadrado é:

• [tex3]\ell = 2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 1= \sqrt{2} + 1[/tex3]

Sua área é dada por:

• [tex3][PQRS] = \ell ^2 =(\sqrt{2}+ 1)^2 =(\sqrt{2})^2 + 2\cdot \sqrt{2}\cdot 1 + 1^2 = 3 + 2\sqrt{2} \text{ dm}^2 .[/tex3]

[Doug]

Muito obrigado adrianotavares.