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Se [tex3]a[/tex3] e [tex3]b[/tex3] são números inteiros reais tais que [tex3]\sqrt{\frac{a}{b}} +\sqrt{\frac{b}{a}}=\sqrt{13},[/tex3] quanto vale [tex3]\left|\sqrt{\frac{a}{b}} -\sqrt{\frac{b}{a}}\right|[/tex3] ?


obrigado pela ajuda!

Olá raquell,

[tex3]\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{a}}=\sqrt{13}[/tex3]

Vamos elevar ao quadrado:

[tex3]\left(\sqrt{\frac{a}{b}}+\sqrt{\frac{b}{a}}\right)^2=(\sqrt{13})^2[/tex3]

[tex3]\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+2=13[/tex3]

Que podemos escrever como sendo:

[tex3]\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+2-4=13-4[/tex3]

[tex3]\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2=9[/tex3]

[tex3]\frac{a}{b}-2+\frac{b}{a}=9[/tex3]

Agora veja que podemos escrever:

[tex3]\left(\sqrt{\frac{a}{b}}-\sqrt{\frac{b}{a}}\right)^2=9[/tex3]

Consequentemente:

[tex3]\left|\sqrt{\frac{a}{b}}-\sqrt{\frac{b}{a}}\right|^2= 3^2[/tex3]

[tex3]\left|\sqrt{\frac{a}{b}}-\sqrt{\frac{b}{a}}\right|= 3[/tex3]