Olimpíadas ⇒ (OBM - 2018) Quadrado Perfeito Tópico resolvido

[Hanon]

Para Quantos números primos [tex3]p[/tex3]
O número [tex3]p^3-4p+9[/tex3] é um quadrado perfeito?
a) 2
b) 3
c) 5
d) 7

[Ittalo25MOD]

[tex3]\boxed {p = 2}[/tex3] é solução, então para p ímpar [tex3]p^3-4p+9=x^2[/tex3] é par.

[tex3]p^3-4p+9 = x^2[/tex3]
[tex3]p\cdot (p^2-4) = (x-3)\cdot (x+3)[/tex3]

Primeiro caso é [tex3]p|x+3 [/tex3], assim: [tex3]x+3 = py [/tex3] (y ímpar)

[tex3]p\cdot (p^2-4) = (py-6)\cdot py[/tex3]
[tex3](p^2-4) = (py-6)\cdot y[/tex3]

Então: [tex3]py-6 | p^2-4[/tex3]

Agora é preciso limitar isso, mas se fizermos algo do tipo [tex3]p^2-4 \geq py-6 [/tex3], não vai adiantar muita coisa. É preciso baixar o "grau" de p:

[tex3]py-6 | p^2-4[/tex3]
[tex3]py-6 | yp^2-4y[/tex3]
[tex3]py-6 | yp^2-4y - p\cdot (py-6)[/tex3]
[tex3]py-6 | -4y +6p [/tex3]
[tex3]py-6 | -2y +3p [/tex3]

Agora sim: [tex3]py-6 \leq |-2y +3p| [/tex3] isso dá [tex3]\boxed {y \leq 3}[/tex3]. Lembrando que [tex3]x+3 = py [/tex3] (y ímpar).

Para [tex3]y = 1 [/tex3], [tex3]x = p-3 [/tex3]:

[tex3]p^3-4p+9=(p-3)^2[/tex3]. Sem solução.

Para [tex3]y = 3 [/tex3], [tex3]x = 3p-3 [/tex3]:

[tex3]p^3-4p+9=(3p-3)^2[/tex3]. [tex3]\boxed {p = 7}[/tex3]

__________________________________________________________________________________________________________

O segundo caso é [tex3]p|x-3 [/tex3], assim: [tex3]x-3 = py [/tex3] (y ímpar)

Do mesmo modo:

[tex3]py+6 | p^2-4[/tex3]
[tex3]py+6 | 2y+3p[/tex3]
[tex3]y \leq 3[/tex3]

Para [tex3]y =1[/tex3]:

[tex3]p^3-4p+9=(p+3)^2[/tex3]. Sem solução.

Para [tex3]y =3[/tex3]:

[tex3]p^3-4p+9=(3p+3)^2[/tex3]. [tex3]\boxed {p = 11}[/tex3]

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Então as soluções são [tex3]p \in \{2,7,11\} [/tex3]

[Hanon]

Desculpe, mas como vc chegou nisso: [tex3]py-6 | yp^2-4y - p\cdot (py-6)[/tex3]?

[Auto Excluído (ID:12031)]

Desculpe, mas como vc chegou nisso: [tex3]py-6 | yp^2-4y - p\cdot (py-6)[/tex3]?

Se [tex3]a \vert b[/tex3] então [tex3]a \vert X \cdot b + Y \cdot a[/tex3]
para quaisquer [tex3]X,Y[/tex3] inteiros

[Hanon]

Sim, claro. Sei q divide a combinação linear, mas oq pegou foi o aparecimento do [tex3]-p(py-6)[/tex3]

[Ittalo25MOD]

Sim, claro. Sei q divide a combinação linear, mas oq pegou foi o aparecimento do [tex3]-p(py-6)[/tex3]

Para conseguir cortar o p²y