Ensino Superior ⇒ (Cálculo III) Taxa de Variação de Temperatura Tópico resolvido

[Isdioner]

Seja T(x, y, z) uma função diferenciável e suponha que ela representa a temperatura em graus Celsius em cada ponto de uma sala (as
dimensões x, y e z são medidas em metros). Suponha ainda que T possui as seguintes propriedades:

T(5, 4, 2) = 30°, ∂T/∂x (5, 4, 2) = 3°/m, ∂T/∂y (5, 4, 2) = −1°/m e ∂T/∂z (5, 4, 2) = 1°/m.

Uma mosca está voando por esta sala.
Se a posição da mosca em cada instante t (dado em segundos) for representada pelo caminho x = t² + 1, y = 2t, z = 10 − t³, determine a taxa de variação da temperatura em relação ao tempo neste caminho, no instante t = 2 segundos.

[AnthonyC]

A taxa de variação da função é dada pela derivada direcional:
[tex3]D_{T,t}=\nabla T\cdot \hat u[/tex3]
Onde [tex3]\hat u[/tex3] é o vetor unitário na direção da variação.

Podemos ver que, no instante [tex3]t=2[/tex3], a posição da mosca é:
[tex3]p(t)=(t^2+1,2t,10-t^3)[/tex3]
[tex3]p(2)=(5,4,2)[/tex3]

Esse é exatamente o ponto no qual sabemos as derivadas parciais. Portanto, o vetor gradiente no instante [tex3]t=2[/tex3], será:
[tex3]\nabla T(x,y,z)=\({\partial T\over \partial x},{\partial T\over \partial y},{\partial T\over \partial z}\)[/tex3]
[tex3]\nabla T(5,4,2)=\(3,-1,1\)[/tex3]

Agora, só precisamos do vetor da direção. Como temos a função da posição, podemos descobrir a direção usando a derivada:
[tex3]p'(t)=\(2t,2,-3t^2\)[/tex3]
[tex3]\vec u=p'(2)=\(4,2,-12\)[/tex3]
Só precisamos tornar este vetor em um vetor unitário:
[tex3]||\vec u||=\sqrt{4^2+2^2+(-12)^2}[/tex3]
[tex3]||\vec u||=\sqrt{164}[/tex3]

[tex3]\hat u={\vec u\over ||\vec u||}[/tex3]
[tex3]\hat u=\({4\over \sqrt{164}},{2\over \sqrt{164}},-{12\over \sqrt{164}}\)[/tex3]

Finalmente, a taxa de variação de [tex3]T[/tex3] no instante [tex3]t=2[/tex3] é:
[tex3]D_{T,t}=\nabla T\cdot \hat u[/tex3]
[tex3]D_{T,t}=\(3,-1,1\)\cdot \({4\over \sqrt{164}},{2\over \sqrt{164}},-{12\over \sqrt{164}}\)[/tex3]
[tex3]D_{T,t}=-{2\over \sqrt{164}}[/tex3]
[tex3]D_{T,t}\approx-0,15~ ^\circ{\text{ C}\over\text{s}}[/tex3]