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Dois oficiais entram em um sorteio para a escala de plantão, que é feito da seguinte maneira: uma urna contém 6 bolas idênticas numeradas de 1 a 6. Os dois oficiais retiram alternadamente uma bola, que é sempre recolocada na urna após ser retirada. Aquele que retirar a bola nº 6 será o escalado.
O oficial "A" começa retirando a bola.
Assinale a alternativa que indica a probabilidade do oficial "A" ser o escalado para o plantão.

a) [tex3]\frac{1}{6}[/tex3]
b) [tex3]\frac{5}{36}[/tex3]
c) [tex3]\frac{5}{6}[/tex3]
d) [tex3]\frac{6}{11}[/tex3]
e) [tex3]\frac{8}{11}[/tex3]

Olá, Alan

Para resolvermos essa questão, é importante perceber que caso o oficial "A" seja escalado, ele sempre retira a bola de número 6 em um termo ímpar da sequência de retiradas, pelo fato de ele ser o primeiro a sacar alguma bola. Sendo assim, vamos escrever alguns casos e observar o padrão.

1) O oficial "A" saca a bola de número 6 na primeira retirada

A probabilidade de isso ocorrer é [tex3]\frac{1}{6}[/tex3]

2) O oficial "A" saca a bola de número 6 na terceira retirada. Para esse resultado ser possível, anteriormente nenhum dos dois oficiais deve retirar a bola de número 6

A probabilidade de isso ocorrer é [tex3]\frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6}[/tex3]

3) O oficial "A" saca a bola de número 6 apenas na quinta retirada. De forma semelhante ao item anterior, nenhum dos dois oficiais deve retirar a bola de número 6 antes

A probabilidade de isso ocorrer é [tex3]\frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6}[/tex3]

Temos, aqui, o nosso padrão. Isto é, a probabilidade do oficial "A" ser o ganhador na retirada [tex3]2k + 1[/tex3] é [tex3]\( \frac{5}{6} \)^{2k}
\cdot \frac{1}{6}[/tex3]

A resposta é a soma de todas essas probabilidades, [tex3]\frac{1}{6} + \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6} + \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6} + ... + \( \frac{5}{6} \)^{2k} \cdot \frac{1}{6}[/tex3]

Colocando o [tex3]\frac{1}{6}[/tex3] em evidência, temos

[tex3]\frac{1}{6} { \color{red} \( 1 + \( \frac{5}{6} \)^2 + \( \frac{5}{6} \)^4 + \( \frac{5}{6} \)^6 + ... + \( \frac{5}{6} \)^{2k} \) } [/tex3]

Os termos destacados em vermelho formam uma soma de PG infinita, com [tex3]a_1 = 1[/tex3] e [tex3]q = \( \frac{5}{6} \)^2[/tex3]

Daí, a probabilidade pedida vale [tex3]\frac{1}{6} \cdot \frac{36}{11} = \frac{6}{11}[/tex3]