Olimpíadas ⇒ (Olimpíada Americana) Logaritmo Tópico resolvido

[rumoafa]

Suponha que [tex3]4^{x1}[/tex3]=5, [tex3]5^{x2}[/tex3]=6, [tex3]6^{x3}[/tex3]=7,..., [tex3]127^{x124}[/tex3]=128. Qual o valor de x1.x2.x3.....x124?

a) 2;

b) [tex3]\frac{5}{2}[/tex3];

c) 3;

d)[tex3]\frac{7}{2}[/tex3];

e) 4.

Resposta

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letra D

Desde já agradeço!

[csmarceloMOD]

De trás para frente...

[tex3]\cancel{217}127^{x_{124}}=128[/tex3]
[tex3]\(126^{x_{123}}\)^{x_{124}}=128[/tex3]
[tex3]\(\(125^{x_{122}}\)^{x_{123}}\)^{x_{124}}=128[/tex3]
...
[tex3]\(\(\(\(6^{x_{3}}\)^{...}\)^{x_{122}}\)^{x_{123}}\)^{x_{124}}=128[/tex3]
[tex3]\(\(\(\(\(5^{x_{2}}\)^{x_3}\)^{...}\)^{x_{122}}\)^{x_{123}}\)^{x_{124}}=128[/tex3]
[tex3]\(\(\(\(\(\(4^{x_{1}}\)^{x_2}\)^{x_3}\)^{...}\)^{x_{122}}\)^{x_{123}}\)^{x_{124}}=128[/tex3]

Pela propriedade dos exponenciais a expressão acima equivale a

[tex3]4^{x_1\cdot x_2\cdot...\cdot x_{122}\cdot x_{123}\cdot x_{124}}=128[/tex3]

Igualando as bases

[tex3]2^{2(x_1\cdot x_2...x_{122}\cdot x_{123}\cdot x_{124})}=2^{7}[/tex3]

Daí

[tex3]2x_1\cdot x_2...x_{122}\cdot x_{123}\cdot x_{124}=7[/tex3]

Portanto

[tex3]x_1\cdot x_2...x_{122}\cdot x_{123}\cdot x_{124}=\frac{7}{2}[/tex3]

[ALANSILVA]

[tex3]127^{x124}[/tex3] ou [tex3]217^{x124}[/tex3]???

[csmarceloMOD]

[tex3]127^{x124}[/tex3] ou [tex3]217^{x124}[/tex3]???

Corrigido!

[NathanMoreira]

Olá, sei que o tópico é antigo, mas pensei em uma solução interessante para o problema:

Perceba a seguinte regularidade:
[tex3]4^{x_1}=5[/tex3]

Aplicando logaritmo na base 2 de ambos os lados:
[tex3]\log_{2}4^{x_1}=\log_{2}5 [/tex3]
[tex3]x_1=\frac{\log_{2}5}{\log_{2}4}[/tex3]

O mesmo acontecerá para todos os outros, seguindo o seguinte padrão:
[tex3]x_2=\frac{\log_{2}6}{\log_{2}5}[/tex3]
[tex3]x_3=\frac{\log_{2}7}{\log_{2}6}[/tex3]
[tex3]...[/tex3]
[tex3]x_{124}=\frac{\log_{2}128}{\log_{2}127}[/tex3]

Perceba que, então, ao multiplicarmos [tex3]x_{1}.x_{2}.x_{3}.{\color{red}...}.x_{123}.x_{124}[/tex3]:

[tex3]\frac{\log_{2}5}{\log_{2}4}.\frac{\log_{2}6}{\log_{2}5}.\frac{\log_{2}7}{\log_{2}6}{\color{red}...}\frac{\log_{2}127}{\log_{2}126} .\frac{\log_{2}128}{\log_{2}127}[/tex3]

Perceba que poderemos simplificar:
[tex3]\frac{\cancel{\log_{2}5}}{\log_{2}4}.\frac{\cancel{\log_{2}6}}{\cancel{\log_{2}5}}.\frac{\cancel{\log_{2}7}}{\cancel{\log_{2}6}}{\color{red}...}\frac{\cancel{\log_{2}127}}{\cancel{\log_{2}126}} .\frac{\log_{2}128}{\cancel{\log_{2}127}}[/tex3]

Sobrando apenas:

[tex3]=\frac{\log_{2}128}{\log_{2}4}[/tex3]
[tex3]=\frac{7}{2}[/tex3]

Alternativa D.