IME / ITA ⇒ (EsPCEx) Equação Trigonométrica Tópico resolvido

[ALANSILVA]

Considere a equação na variável [tex3]x\in R[/tex3], dada por [tex3]x^2-x+sec^2\alpha =0[/tex3]. Nessas condições, podemos afirmar que essa equação:

a) possui duas raízes, [tex3]\forall\alpha \in R[/tex3]
b) não possui raízes, [tex3]\forall\alpha \in R[/tex3]
c) não possui raízes, se [tex3]0<\alpha <\pi [/tex3]
d) possui uma raiz, se [tex3]0\leq \alpha \leq \frac{\pi }{2} [/tex3]
e) possui duas raízes, se [tex3]0\leq \alpha \leq \frac{\pi }{2}[/tex3]

Resposta

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Gabarito: B

[MateusQqMDMOD]

Oi, Alan. O discriminante da equação vale [tex3]1 - 4 \cdot \sec^2 \alpha = 1 - \frac{4}{\cos ^2 \alpha} = \frac{\cos ^2 \alpha - 4}{\cos ^2 \alpha} = \frac{(\cos \alpha -2)(\cos \alpha +2)}{\cos ^2 \alpha}[/tex3]. Sabemos que [tex3]-1 \leq \cos \alpha \leq 1 [/tex3], logo, [tex3]\frac{(\cos \alpha -2)(\cos \alpha +2)}{\cos ^2 \alpha}[/tex3] é sempre um número negativo, daí não há solução real para a equação.