IME / ITA ⇒ (EN - 1987) Análise Combinatória: Combinações Simples Tópico resolvido

[mvgcsdf]

Um grupo de [tex3]8[/tex3] cientistas trabalha num projeto altamente sigiloso, cujos planos são guardados em um armário. Eles desejam que o armário só possa ser aberto, quando pelo menos [tex3]5[/tex3] cientistas estiverem presentes. Para que isso aconteça, são instalados cadeados no armário e cada cientista recebe as chaves de alguns cadeados. Suponha que tenha sido instalada a menor quantidade possível de cadeados.

1. Quantos cadeados foram instalados?

a) [tex3]8[/tex3]
b) [tex3]28[/tex3]
c) [tex3]56[/tex3]
d) [tex3]32[/tex3]
e) [tex3]70[/tex3]

2. Quantas chaves cada cientista recebeu?

a) [tex3]2[/tex3]
b) [tex3]4[/tex3]
c) [tex3]21[/tex3]
d) [tex3]32[/tex3]
e) [tex3]35[/tex3]

[ALDRINMOD]

Segundo o raciocínio do nosso Ilustre Professor Augusto Cesar de Oliveira Morgado, temos:

Chegam [tex3]4[/tex3] cientistas [tex3]A, B, C \text{ e } D.[/tex3] Com as chaves que possuem, abrem alguns cadeados, mas não todos. Existe pelo menos um cadeado que eles não conseguem abrir. Na situação do número mínimo de cadeados, existe exatamente um cadeado que eles não conseguem abrir. Batize tal cadeado de [tex3]ABCD.[/tex3] Portanto, [tex3]ABCD[/tex3] é o cadeado cuja chave não está em poder de [tex3]A,[/tex3] nem de [tex3]B,[/tex3] nem de [tex3]C[/tex3] e nem de [tex3]D.[/tex3] Qualquer outro cientista tem a chave desse cadeado, pois esse cientista e [tex3]A,B, C \text{ e } D[/tex3] formam um grupo de [tex3]5[/tex3] cientistas e, portanto, nesse grupo alguém possui a chave. Como o alguém não é nem [tex3]A,[/tex3] nem [tex3]B,[/tex3] nem [tex3]C[/tex3] e nem [tex3]D,\ldots[/tex3]
Analogamente batize os demais cadeados.
Verifique agora que a correspondência entre cadeados e seus nomes é biunívoca.
O número de cadeados é igual ao número de nomes de cadeados, [tex3]{8\choose4}=70.[/tex3]
Cada cientista [tex3]X[/tex3] possui as chaves dos cadeados que não possuem [tex3]X[/tex3] no nome, [tex3]{7\choose4}=35[/tex3]

Portanto, as alternativas corretas são: (e) e (e).

Se alguém tiver uma idéia diferente nos envie por favor.

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Show de bola, Aldrin!
Valeu mesmo!