Ensino Médio ⇒ Piramide Triangular Regular Tópico resolvido

[SaitamaCareca]

Calcule o volume de um tronco de piramide triangular regular cujo as 25 bases são triângulos equiláteros de lados 6cm e 2cm, respectivamente, sabendo que ela foi obtida de uma piramide de altura 9cm, secçionada a 3cm da vértice.

[Planck]

Olá SaitamaCareca,

Primeiramente, esse é um exercício que, tratando-se de uma prova, é mais lucrativo lembrar da fórmula:

[tex3]V_{tronco}=\frac{1}{3}\cdot h\cdot (A_{maior} +\sqrt{A_{maior}\cdot A_{menor}} +A_{menor})[/tex3]

Se o corte foi feito a [tex3]3[cm][/tex3] do vértice, temos que a altura do tronco é [tex3]6[cm].[/tex3] Com isso:

[tex3]V_{tronco}=\frac{1}{3}\cdot6\cdot (A_{maior} +\sqrt{A_{maior}\cdot A_{menor}} +A_{menor})[/tex3]

Mas:

[tex3]A_{maior}=\frac{l^2\sqrt{3}}{4}\rightarrow \frac{6^2\sqrt{3}}{4}[/tex3]

[tex3]A_{menor}=\frac{l^2\sqrt{3}}{4}\rightarrow \frac{2^2\sqrt{3}}{4}[/tex3]

Substituindo na fórmula:

[tex3]V_{tronco}=\frac{1}{\cancel3}\cdot \cancel6\cdot \left(\frac{6^2\sqrt{3}}{4} +\sqrt{\frac{6^2\sqrt{3}}{4}\cdot \frac{2^2\sqrt{3}}{4}} + \frac{2^2\sqrt{3}}{4}\right)[/tex3]

[tex3]V_{tronco}=2\cdot \left(9\sqrt{3} +\sqrt{9\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}} + \sqrt{3}\right)[/tex3]

[tex3]V_{tronco}=2\cdot \left(9\sqrt{3} +\sqrt{9\cdot3} + \sqrt{3}\right)[/tex3]

[tex3]V_{tronco}=2\cdot \left(9\sqrt{3} +3\sqrt{3} + \sqrt{3}\right)[/tex3]

[tex3]V_{tronco}=2\cdot \left(13\sqrt{3} \right)[/tex3]

[tex3]\boxed{V_{tronco}=26\sqrt{3}}[/tex3]