IME / ITA ⇒ (EN - 1987) Geometria Analítica no Espaço: Reta Tópico resolvido

[mvgcsdf]

A distância do ponto [tex3](1, 0, 2)[/tex3] à reta [tex3]\frac{x-2}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z-1}{6}[/tex3] vale

a) [tex3]\frac{4}{7}[/tex3]
b) [tex3]1[/tex3]
c) [tex3]\frac{\sqrt{35}}{7}[/tex3]
d) [tex3]\frac{\sqrt{82}}{7}[/tex3]
e) [tex3]\frac{\sqrt{105}}{7}[/tex3]

Resposta:

---

d

[fabit]

A distância do ponto [tex3]A(1, 0, 2)[/tex3] à reta [tex3](r):\, \frac{x-2}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z-1}{6}[/tex3] é dada pelo módulo do produto vetorial dos vetores [tex3]\vec{PA} \text{ e } \vec{n}_0,[/tex3] onde [tex3]P[/tex3] é um ponto de [tex3]r \text{ e } \vec{n}_0[/tex3] é o versor do vetor diretor da reta [tex3](r).[/tex3]

• [tex3]d=|\vec{PA}\times \vec{n}_0|[/tex3]

• 

  AF85.png (4.93 KiB) Exibido 904 vezes

O vetor diretor da reta [tex3](r)[/tex3] é [tex3]\vec{n}=2\vec{i}+3\vec{j}+6\vec{k}.[/tex3] Logo, [tex3]\vec{n}_0=\frac{1}{|\vec{n}|}\cdot \vec{n}=\frac{2}{7}\vec{i}+\frac{3}{7}\vec{j}+\frac{6}{7}\vec{k}.[/tex3]

As equações paramétricas de [tex3](r)[/tex3] são [tex3]x=2t+2,\, y=3t \text{ e } z=6t+1.[/tex3] Tomando arbitrariamente [tex3]t=0,[/tex3] segue que [tex3]P=(2,0,1).[/tex3] Logo, [tex3]\vec{PA}=-\vec{i} +\vec{k}[/tex3] e, portanto,

• [tex3]d=|\vec{PA}\times \vec{n}_0|=\left|\left|\begin{array}{rrr} \vec{i}& \vec{j}&\vec{k} \\-1&0&1\\\frac{2}{7}&\frac{3}{7} &\frac{6}{7} \\\end{array}\right|\right|=\left|-\frac{3}{7}\vec{i}+\frac{8}{7}\vec{j}-\frac{3}{7}\vec{k}\right|=\frac{\sqrt{82}}{7}.[/tex3]

• 

  AF86.png (4.36 KiB) Exibido 902 vezes

• [tex3]\text{sen}\alpha=\frac{h}{|\vec{v}|}\Longrightarrow h=|\vec{v}|\cdot\text{sen}\alpha.[/tex3]

• [tex3]|\vec{v}\times\vec{u}_0|= \underbrace{|\vec{u}_0|}_1\cdot\underbrace{|\vec{v}|\cdot \text{sen}\alpha}_h\Longrightarrow h=|\vec{v}\times\vec{u}_0|.[/tex3]

[mvgcsdf]

Grande Fabit
Sua resolução está show de bola.
Muitíssimo agradecido.
Abração.