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[Série] Calcular valor de série tendo outra como referência
Enviado: 08 Abr 2019, 22:30
por robmenas
Olá. Estou tendo dificuldade de resolver a questão abaixo e gostaria de ajuda:
Sabe-se que
[tex3]\sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}[/tex3], então
[tex3]\sum_{n\geq 1}\frac{1}{(2n-1)^2}[/tex3] é igual a:
Re: [Série] Calcular valor de série tendo outra como referência
Enviado: 10 Abr 2019, 15:19
por robmenas
Consegui resolver. Aí vai a resolução a quem possa interessar:
Expandido os somatórios,
[tex3]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n²}=1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\cdots=\frac{\pi^2}{6}[/tex3]
[tex3]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^2}=1+\frac{1}{9}+\frac{1}{25}+\frac{1}{49}+\cdots[/tex3]
Substituindo [tex3]n[/tex3] por [tex3]n+1[/tex3] no segundo somatório:
[tex3]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2(n+1)-1)^2}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n)^2}=\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{36}+\frac{1}{64}\cdots[/tex3]
Comparando os três somatórios, percebe-se que
[tex3]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n²}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^2}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n)^2}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^2}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{4n²}[/tex3]
Desenvolvendo os cálculos...
[tex3]
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n²}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^2}+\frac{1}{4}\cdot \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n²}\\
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^2}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n²}-\frac{1}{4}\cdot \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n²}=\left(1-\frac{1}{4}\right)\cdot \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n²}\\
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^2}=\frac{3}{4}\cdot\frac{\pi^2}{6}=\frac{\pi^2}{8}
[/tex3]
Re: [Série] Calcular valor de série tendo outra como referência
Enviado: 16 Mai 2021, 16:01
por Cardoso1979
robmenas escreveu: 10 Abr 2019, 15:19
Consegui resolver. Aí vai a resolução a quem possa interessar:
Expandido os somatórios,
[tex3]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n²}=1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\cdots=\frac{\pi^2}{6}[/tex3]
[tex3]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^2}=1+\frac{1}{9}+\frac{1}{25}+\frac{1}{49}+\cdots[/tex3]
Substituindo
[tex3]n[/tex3] por
[tex3]n+1[/tex3] no segundo somatório:
[tex3]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2(n+1)-1)^2}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n)^2}=\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{36}+\frac{1}{64}\cdots[/tex3]
Comparando os três somatórios, percebe-se que
[tex3]\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n²}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^2}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n)^2}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^2}+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{4n²}[/tex3]
Desenvolvendo os cálculos...
[tex3]
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n²}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^2}+\frac{1}{4}\cdot \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n²}\\
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^2}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n²}-\frac{1}{4}\cdot \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n²}=\left(1-\frac{1}{4}\right)\cdot \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n²}\\
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{(2n-1)^2}=\frac{3}{4}\cdot\frac{\pi^2}{6}=\frac{\pi^2}{8}
[/tex3]
