IME / ITA ⇒ Colégio Naval 2011-2012 Tópico resolvido

[Brasileiro312]

A divisão do inteiro positivo 'N' por 5 tem quociente 'q1' e resto 1. A divisão de '4q1' por 5 tem quociente 'q2' e resto 1. A divisão de '4q2' por 5 tem quociente 'q3' e resto 1. Finalmente, dividindo '4q3' por 5, o quociente é 'q4' e o resto é 1. Sabendo que 'N' pertence ao intervalo aberto (621, 1871) , a soma dos algarismos de 'N' é


A) 18
B) 16
C) 15
D) 13
E) 12

Resposta

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D

[Cardoso1979]

Observe

Uma solução:

Somando 4 membro a membro de todas abaixo , vem;

[tex3]N=5q_{1}+1→N+4=5(q_{1}+1)[/tex3]

[tex3]4q_{1}=5q_{2}+1→4(q_{1}+1)=5(q_{2}+1)[/tex3]

[tex3]4q_{2}=5q_{3}+1→4(q_{2}+1)=5(q_{3}+1)[/tex3]

[tex3]4q_{3}=5q_{4}+1→4(q_{3}+1)=5(q_{4}+1)[/tex3]

Multiplicando as quatro ( 4 ) equações, temos:

[tex3](N+4).4.(q_{1}+1).4.(q_{2}+1).4.(q_{3}+1)= 5.(q_{1}+1).5.(q_{2}+1).5.(q_{3}+1).5.(q_{4}+1)[/tex3]

[tex3]4^3.(N+4)=5^4(q_{4}+1)[/tex3]

Sendo MDC( 4 , 5 ) = 1, então 5⁴ divide ( N + 4 ), ou seja:

N + 4 = 5⁴.T → N = 625T - 4

Como N [tex3]\in [/tex3] ( 621 , 1871 ) , segue que T = 2 → N = 625.2 - 4 = 1246

Soma dos algarismos de N será :

1 + 2 + 4 + 6 = 13. Portanto, alternativa D).



Bons estudos!