IME / ITA ⇒ (EEAR – 1987) Geometria Plana: Área do Círculo Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

• 

  AF83.png (6.58 KiB) Exibido 1377 vezes

O triângulo [tex3]ABC[/tex3] é eqüilátero de [tex3]24\text{ cm}[/tex3] de perímetro. [tex3]P,Q \text{ e } R[/tex3] são pontos médios dos lados. A área do círculo, em [tex3]\text{ cm}^2,[/tex3] é:

a) [tex3]2\sqrt{3}.[/tex3]
b) [tex3]4\sqrt{3}.[/tex3]
c) [tex3]3\pi.[/tex3]
d) [tex3]4\pi.[/tex3]

[adrianotavares]

• 

  AF82.png (13.28 KiB) Exibido 1356 vezes

Os lados do triângulo [tex3]ABC[/tex3] medem [tex3]\frac{24}{3}=8\text{ cm}.[/tex3]
Como [tex3]P \text{ e } Q[/tex3] são médios de [tex3]AB \text{ e } AC,[/tex3] [tex3]PQ[/tex3] é base média do triângulo [tex3]ABC.[/tex3] Logo, [tex3]\overline{PQ}=\frac{\overline{AC}}{2}=4\text{ cm}.[/tex3]
Como [tex3]O[/tex3] é o ponto médio de [tex3]PQ,[/tex3] segue que [tex3]\overline{OQ}=\frac{\overline{PQ}}{2}=2\text{ cm}.[/tex3]
Seja [tex3]T[/tex3] o ponto em que o círculo tangencia o lado [tex3]BC[/tex3] do triângulo [tex3]ABC.[/tex3] Logo, como [tex3]T\widehat{Q}O\equiv B\widehat{C}A=60^\circ ,[/tex3] temos

• [tex3]\text{sen}60^\circ =\frac{\overline{OT}}{\overline{OQ}}\Longrightarrow \overline{OT}=\sqrt{3}\text{ cm}.[/tex3]

Portanto, a área do círculo é

• [tex3]\pi \cdot\overline{OT}^2=\pi\cdot (\sqrt{3})^2=3\pi\text{ cm}^2.[/tex3]

Letra (c).