IME / ITA ⇒ (Nível IME/ITA) Geometria Plana

[Flavio2020]

Se, BC=5, AB=3 e AD=4. Calcule CD.

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a)2 [tex3]\sqrt{6}[/tex3]
b)4 [tex3]\sqrt{6}[/tex3]
c)3 [tex3]\sqrt{2}[/tex3]
d)4 [tex3]\sqrt{3}[/tex3]
e)[tex3]\sqrt{10}[/tex3]

Resposta

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a

[jvmago]

Tenho a leve sensação que essa questão ja foi postada no fórum!

[guila100]

fiz a potencia de 2 secantes para achar o valor de
DE

[tex3]ab.(ab+cb)=ad(ad+de)\\3(8)=4(4+de)\\24=16+4de\\de=2[/tex3]

ai usando relação de bissetriz para achar
CE
[tex3]\frac{CE}{DE}=\frac{CA}{DA}\\\frac{CE}{2}=\frac{8}{4}\\CE=4[/tex3][/tex3]

agora usando relação de cosseno fica

[tex3]6^2=4^2+8^2-2.4.8.cos(2\theta )\\36-16-64=-64cos(2\theta )\\-44=-64cos(2\theta )\\cos(2\theta )=\frac{44}{64}\\cos(2\theta )=2cos^2(\theta )-1\\2cos^2(\theta )=\frac{11}{16}+1\\cos^2(\theta )=\frac{27}{32}\\cos(\theta )=\frac{\sqrt{27}}{4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{54}}{8}[/tex3]
fazendo de novo coseno no triangulo menor fica

[tex3]2^2=4^2+x^2-2.4.x.\sqrt{54}/8\\-12=x^2-x\sqrt{54}\\x^2-\sqrt{54x}+12=0\\\Delta =54-4(1).(12)=6\\\sqrt{54}+\sqrt{6}/2 \\3\sqrt{6}+\sqrt{6}/2 =4\sqrt{6}/2 = 2\sqrt{6}[/tex3]

só pra complementar a explicação pq não usou o - na raiz pq a gente quando faz o cosseno do outro triangulo que tambem vai ter um x^2 nos vemos que o (-) do 1 da [tex3]\sqrt{6}[/tex3] e do outro triangulo o (+) da [tex3]4\sqrt{6}[/tex3] então o cara usa o em comum dos 2 por isso o [tex3]2\sqrt{6}[/tex3] usa a raiz em comum dos 2