Pré-Vestibular ⇒ (UnB/PAS - 1997) Geometria Espacial: Cubo e Esfera Tópico resolvido

[ALDRINMOD]

Uma fábrica de bolas de boliche deseja enviar o seu produto para os seus revendedores. Essas bolas, que são esferas de [tex3]20\text{ cm}[/tex3] de diâmetro, deverão ser embaladas em caixas cúbicas de papelão, de menor volume possível, com capacidade para [tex3]9[/tex3] unidades. Para isso, as bolas serão empacotadas na posição ilustrada na figura I abaixo.

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Sabendo que os centros das oitos esferas exteriores sãos os vértices do cubo ilustrado na figura II acima, e desconsiderando a espessura do papelão, calcule, em centímetros, o comprimento da aresta da caixa que será usada para embalar as bolas. Despreze a parte fracionária de seu resultado, caso exista.

Resposta

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[cajuADMIN]

Olá Aldrin,

Na figura II podemos ver que a esfera do centro estará na interseção das diagonais do cubo. Ou seja, podemos dizer que o cubo mostrado na figura 2 tem diagonal igual ao diâmetro da esfera do centro mais o raio de uma esfera de cima somado com o raio da esfera de baixo oposta à escolhida de cima. Ou seja, podemos dizer que:

[tex3]\ell\sqrt 3=4\cdot R[/tex3]

Onde [tex3]\ell[/tex3] é o lado do cubo da figura II e [tex3]R[/tex3] é o raio das esferas:

[tex3]\ell\sqrt 3=4\cdot 10[/tex3]

[tex3]\ell=\frac{40\sqrt 3}{3}[/tex3]

Agora veja que o cubo que irá conter as esferas terá lado igual ao cubo da figura II somado com 2 raios. Ou seja, o lado pedido no enunciado é:

[tex3]L=\ell+2R[/tex3]

[tex3]L=\frac{40\sqrt 3}{3}+2\cdot 10\approx 43,09[/tex3]