Ensino Superior ⇒ Equações diferenciais de 1º ordem

[Elzafrozen]

Um barco a vela em repouso de massa m = 1, é posto em movimento impulsionado pela forçado vento que é proporcional à diferença de velocidade do vento V km/h e do barco, v km/h,sendo k =2/3a constante de proporcionalidade.A água oferece uma resistência ao movimento proporcional à velocidade do barco com constante de proporcionalidade r =1/3,
Qual deve ser a velocidade constante V do vento, para que o barco atinja a velocidade máxima limite de 50 km/h?

Resposta

---

v(t) = 2/3V (1 − e^−t). vel limit = 75 km/h

[pedro059]

Talvez o mais difícil desta questão é montar a equação.
Então, sabendo que [tex3]F_{res}=ma[/tex3] temos que as forças atuantes são a força do vento [tex3]F_v[/tex3] e a força de resistência ao movimento [tex3]F_{at}[/tex3]
Onde:
[tex3]F_v=k(V_{vento}-v)[/tex3], onde [tex3]k=\frac{2}{3}[/tex3] e [tex3]V_v=[/tex3] Velocidade do vento
[tex3]F_{at}=-rv[/tex3], onde [tex3]r=\frac{1}{3}[/tex3]

Montando a equação, teremos que: [tex3]k(V_{vento}-v)-rv=ma[/tex3]
[tex3]k(V_{vento}-v)-rv=m\frac{dv}{dt}[/tex3]
[tex3]\frac{dv}{dt}+v(k+r)=kV_v[/tex3]
Portanto, substituindo [tex3]k[/tex3] e [tex3]r[/tex3]:
[tex3]\frac{dv}{dt}+v=\frac{2}{3}V_v[/tex3]
A partir daqui, é possível resolver aplicando o método do fator integrante.