IME / ITA ⇒ (Escola Naval - 2016) Cilindro Tópico resolvido

[rumoafa]

Um cilindro circular reto tem área total 𝐴, raio de base 𝑅 e altura h. Se o volume máximo desse cilindro é expresso por um número real m e a função 𝑓 de variável real é definida por 𝑓(𝑥) = [tex3](2\pi {x^{2}})^{\frac{1}{3}}[/tex3] + 1, pode-se dizer que 𝑓(𝑚) vale:

a)[tex3]\frac{1}{3}[/tex3] A

b) A+3

c) [tex3]\frac{1}{3}[/tex3](A+3)

d) [tex3]\frac{1}{3}[/tex3](A-3)

e) A [tex3]\frac{\sqrt{2}}{3}[/tex3]+1

Resposta

---

letra c

Desde já agradeço!

[Planck]

Olá rumoafa,

Primeiro, vamos recordar como a área total é calculada:

[tex3]A = 2 \cdot \pi \cdot R^2 + 2 \cdot \pi \cdot R \cdot H[/tex3]

E o volume é dado por:

[tex3]V = \pi \cdot R^2 \cdot H[/tex3]

No entanto, como ele disse que:

Se o volume máximo desse cilindro é expresso por um número real m

O volume é variável! [tex3]R[/tex3] e [tex3]H[/tex3] variam. Mas, ambos variam de modo que [tex3]A[/tex3] seja um valor constante. Nesse contexto, a dificuldade será deixar o volume em função de apenas uma variável. Podemos utilizar a fórmula da área total como uma saída para essa premissa:

[tex3]A = 2 \cdot \pi \cdot R^2 + 2 \cdot \pi \cdot R \cdot H[/tex3]

[tex3]H = \frac{A - 2\cdot \pi \cdot R^2}{2 \cdot \pi \cdot R}[/tex3]

Com isso, podemos substituir na fórmula do volume e obter a seguinte expressão:

[tex3]V = \pi \cdot R^2 \cdot\left( \frac{A - 2\cdot \pi \cdot R^2}{2 \cdot \pi \cdot R} \right)[/tex3]

[tex3]V = \frac{\pi \cdot R^2 \cdot A - 2\cdot \pi^2 \cdot R^4}{2 \cdot \pi \cdot R} [/tex3]

[tex3]V = \frac{{\color{red}\cancel{{\color{black}\pi}}} \cdot {\color{red}\cancel{{\color{black}R^2}}} \cdot A}{2 \cdot {\color{red}\cancel{{\color{black}\pi}}} \cdot {\color{red}\cancel{{\color{black}R}}}}- \frac{ {\color{red}\cancel{{\color{black}2}}}\cdot {\color{red}\cancel{{\color{black}\pi^2}}} \cdot {\color{red}\cancel{{\color{black}R^4}}}}{{\color{red}\cancel{{\color{black}2}}} \cdot {\color{red}\cancel{{\color{black}\pi}}}\cdot {\color{red}\cancel{{\color{black}R}}}} [/tex3]

[tex3]\boxed{V(R) = \frac{R \cdot V}{2} - \pi \cdot R^3 }[/tex3]

Nesse ponto, não achei outra saída sem ser por derivada. Podemos derivar e igualar a zero para encontrar o valor máximo:

[tex3]V'(R)= \frac{A}{2} - 3 \cdot \pi \cdot R^2[/tex3]

Após igualar a zero, obtemos:

[tex3]0 = \frac{A}{2} - 3 \cdot \pi \cdot R^2[/tex3]

[tex3]\frac{A}{2} = 3 \cdot \pi \cdot R^2[/tex3]

[tex3]R = \sqrt{\frac{A}{6 \cdot \pi}}[/tex3]

Como a função possui o termo [tex3]a<0[/tex3], ao calcular a derivada, estamos descobrindo o ponto de máximo, ou seja, o raio máximo. Agora, lembre-se que foi dito:

Se o volume máximo desse cilindro é expresso por um número real m

Esse volume máximo é dado quando o raio é máximo. Desse modo, vamos substituir o valor máximo encontrado para o raio na fórmula que obtemos para o volume:

[tex3]V = \frac{R \cdot V}{2} - \pi \cdot R^3[/tex3]

Primeiro, vamos colocar [tex3]R[/tex3] em evidência para facilitar os cálculos:

[tex3]V = R \cdot \left( \frac{A}{2} - \pi \cdot R^2\right)[/tex3]

Após substituir o raio máximo, obtemos:

[tex3]V_{máx} = \sqrt{\frac{A}{6 \cdot \pi}} \cdot \left( \frac{A}{2} - {\color{red}\cancel{{\color{black}\pi}}} \cdot {\frac{A}{6 \cdot {\color{red}\cancel{{\color{black}\pi}}}}}\right)[/tex3]

[tex3]V_{máx} = \sqrt{\frac{A}{6 \cdot \pi}} \cdot \left( \frac{A}{2} - {\frac{A}{6}}\right)[/tex3]

[tex3]V_{máx} = \sqrt{\frac{A}{6 \cdot \pi}} \cdot \frac{A}{3}[/tex3]

Esse é o [tex3]m[/tex3] mencionado. Agora, podemos (finalmente) calcular [tex3]f(m)[/tex3]:

[tex3]f(x) = (2 \cdot \pi \cdot x^2 )^{\frac{1}{3}} +1[/tex3]

[tex3]f(m) = (2 \cdot \pi \cdot m^2 )^{\frac{1}{3}} +1[/tex3]

[tex3]f(m) = \left({\color{red}\cancel{{\color{black}2 \cdot \pi}}} \cdot {\frac{A}{{\color{red}\cancel{{\color{black}6 \cdot \pi}}}}} \cdot \frac{A^2}{9} \right)^{\frac{1}{3}} +1[/tex3]

[tex3]f(m) = \left({\frac{A}{3}} \cdot \frac{A^2}{9} \right)^{\frac{1}{3}} +1[/tex3]

[tex3]f(m) = \left(\frac{A^3}{27} \right)^{\frac{1}{3}} +1[/tex3]

[tex3]\boxed{f(m) = \frac{A}{3} +1}[/tex3]

Ou...

[tex3]\boxed{f(m) = \frac{1}{3} \cdot (A +3)}[/tex3]

Observação:

nazare.jpg (53.19 KiB) Exibido 2767 vezes

[rumoafa]

Arrasou!!! Muito obrigada!