Pré-Vestibular ⇒ (FUVEST - 1996) Equações Polinomiais: Relações de Girard

[barbarahass]

Seja [tex3]P(x)=x^4+bx^3+cx^2+dx+e[/tex3] um polinômio com coeficientes inteiros. Sabe-se que as quatro raízes de [tex3]P(x)[/tex3] são inteiras e que três delas são pares e uma é ímpar. Quantos coeficientes pares tem o polinômio [tex3]P(x)?[/tex3]

a) [tex3]0[/tex3]
b) [tex3]1[/tex3]
c) [tex3]2[/tex3]
d) [tex3]3[/tex3]
e) [tex3]4[/tex3]

Resposta:

---

d

[fabit]

[tex3]P(x)=(x-p)(x-q)(x-m)(x-n)=1x^4+bx^3+cx^2+dx+e[/tex3]

• [tex3]\begin{cases}-(p+q+m+n)=b\\pq+pm+pn+qm+qn+mn=c\\-(pqm+pqn+pmn+qmn)=d\\pqmn=e\end{cases}[/tex3]

Num produto de inteiros, basta um fator ser par para que o produto seja par. Então [tex3]pqmn[/tex3] é par, bem como os quatro produtos [tex3]pqm,[/tex3] [tex3]pqn,[/tex3] [tex3]pmn \text{ e } qmn.[/tex3] Só aí já garantimos que [tex3]e,[/tex3] [tex3]d \text{ e }c[/tex3] são pares [tex3](c[/tex3] e [tex3]d[/tex3] são somas de inteiros pares).

Por outro lado, [tex3]b[/tex3] é ímpar, pois é soma de três pares com um ímpar.

Letra (d).