Ensino Médio ⇒ Arestas, Vértices e Faces Tópico resolvido

[eumarccoss]

Um poliedro é formado por faces quadrangulares e hexagonais e tem 36 arestas e 24 vértices. O número de faces hexagonais desse poliedro é
A) 6.
B) 7.
C) 8.
D) 9.
E) 10.

Pela relação de Euler (F+V = A+2) eu cheguei em: F = 14 faces. Agora não sei como descobrir quantas faces das 14 são quadrangulares ou hexagonais!!

Resposta

---

C

[Planck]

Olá eumarccoss,

Esse exercício se torna trivial se você atentar para um detalhe:

• Faces hexagonais: [tex3]6[/tex3] arestas cada.
• Faces quadrangulares: [tex3]4[/tex3] arestas cada.

Logo, o número de arestas é dado por:

[tex3]\frac{(6H + 4Q)}{2} = 36 \iff 3H + 2Q = 36[/tex3]

Mas, pela Relação de Euler, sabemos que o número de faces é [tex3]14[/tex3], ou seja:

[tex3]H + Q = 14 \iff H = 14 -Q[/tex3]

Desse modo:

[tex3]3H + 2Q = 36 \iff 3 \cdot (14 -Q) + 2Q = 36 \Rightarrow 42 - 3Q + 2Q = 36[/tex3]

[tex3]Q = 6[/tex3]

Assim:

[tex3]H + 6 = 14 [/tex3]

[tex3]{\color{forestgreen}\boxed{H = 8}}[/tex3]