IME / ITA ⇒ (Colégio Naval - 1991) Geometria Plana: Áreas Tópico resolvido

[agp16]

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A área hachurada na figura acima, onde [tex3]ABCD[/tex3] é um quadrado de área [tex3]S,[/tex3] [tex3]\overline{AF} = \frac{1}{2}\cdot \overline{AB}[/tex3] e [tex3]\overline{AE} =\frac{1}{3}\cdot \overline{AB}[/tex3] é igual a:

a) [tex3]\frac{S}{12}[/tex3]
b) [tex3]\frac{S}{14}[/tex3]
c) [tex3]\frac{S}{18}[/tex3]
d) [tex3]\frac{11S}{70}[/tex3]
e) [tex3]\frac{31S}{420}[/tex3]

[adrianotavares]

Olá, agp16.

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Seja [tex3]\ell[/tex3] o lado do quadrado [tex3]ABCD.[/tex3]
Temos que [tex3][ABCD]=S=\ell^2,[/tex3] [tex3]\overline{AE}=\frac{\ell}{3} \text{ e } \overline{EF}=\frac{\ell}{6}.[/tex3]

[tex3]\triangle EGF\sim\triangle GCD:[/tex3]

• [tex3]\frac{\large \frac{\ell}{6}}{\ell} = \frac{\overline{GQ}}{\overline{GP}} \Longrightarrow \overline{GP} =6\cdot \overline{GQ}=\frac{6\ell}{7}[/tex3].

• [tex3][DEG]= [DEC] - [DGC]= \frac{\ell^2}{2} - \frac{6\ell^2}{14} = \frac{\ell^2}{14}=\frac{S}{14}.[/tex3]

Letra (b).

[Natan]

como comprovar que esses triangulos são semelhantes?

[agp16]

OLá Natan,

Temos duas paralelas e por sua vez os triângulos semelhentes gozam da propriedade LAL (lado, ângulo, lado), visto que o ângulo de O.P.V (oposto pelo vértice).

[Natan]

e como achar o valor de [tex3]GQ[/tex3] em função do lado?

[adrianotavares]

Olá, Natan.

[tex3]EF=AF-AE \Rightarrow EF=\frac{l}{2}-\frac{l}{3} \Rightarrow EF=\frac{l}{6}[/tex3]

[tex3]GQ=x[/tex3]

[tex3]GP=l-x[/tex3]

Sendo os triângulos [tex3]EFG[/tex3] e [tex3]DCG[/tex3] semelhantes teremos:

[tex3]\frac{x}{l-x}=\frac{\frac{l}{6}}{l} \Rightarrow \frac{x}{l-x}=\frac{1}{6} \Rightarrow 6x=l-x \Rightarrow x=\frac{l}{7}[/tex3]

Logo, teremos:

[tex3]GQ=x=\frac{l}{7}[/tex3]