Ensino Médio ⇒ Bissetriz do ângulo interno Tópico resolvido

[thetruthFMA]

No triângulo ABC a seguir, o segmento DE é paralelo à BC e AM é bissetriz do ângulo interno
 . A soma x + y é:

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a) 6
b)9/2
c) 11/2
d) 15/2
e) 22/1

Resposta

---

E

[rodBR]

Pelo Teorema da Bissetriz Interna:
[tex3]\frac{3}{6}=\frac{y}{x+3}\\
\boxed{x+3=2y} \ \ (i)[/tex3]


Seja [tex3]K=DE\cap AM[/tex3]. Como [tex3]DE//BC[/tex3], então [tex3]\angle AEK=\angle ACM[/tex3] e [tex3]\angle KAE[/tex3] é comum a ambos os triângulos da direita. Portanto, [tex3]\Delta AKE[/tex3] ~ [tex3]\Delta AMC[/tex3]. Analogamente, os triângulos da esquerda [tex3]\Delta AKD[/tex3] ~ [tex3]\Delta AMB[/tex3].

Da semelhança dos triângulos da esquerda:
[tex3]\frac{AK}{AM}=\frac{4}{6}\\
\boxed{\frac{AK}{AM}=\frac{2}{3}}[/tex3]

Da semelhança dos triângulos da direita:
[tex3]\frac{AK}{AM}=\frac{x}{x+3}\\
\frac{2}{3}=\frac{x}{x+3}\\
2x+6=3x\\
\boxed{x=6}[/tex3]

Substituindo o valor encontrado de [tex3]x[/tex3] em [tex3](i)[/tex3]:
[tex3]x+3=2y\\
2y=6+3\\
2y=9\\
\boxed{y=\frac{9}{2}}[/tex3]

Portanto,
[tex3]x+y=6+\frac{9}{2}\\
\boxed{\boxed{x+y=\frac{21}{2}}}[/tex3]

[thetruthFMA]

Faz sentido sua resposta mas não bate com o gabarito. Acho que deve estar errado. Obrigado por responder.